Sonsuz bir alani dondurdugumuzde elde ettigimiz hacim de sonsuz mu olur?

3 beğenilme 0 beğenilmeme
107 kez görüntülendi

Sonsuz bir alani dondurdugumuzde elde ettigimiz hacim de sonsuz mu olur?


Soruyu soyle guzellestirmeye calisayim: Elimizde $x$ ekseninin uzerinde bir egri olsun ve altinda kalan alan (integrali) sonsuz olsun. Bu egriyi $x$ eksenine gore dondurerek elde edecegimiz hacim de sonsuz mu olmali?

Ustteki soru daha genel tabii ki, fakat demek istedigimi canlandirmaya calistim.

10, Mayıs, 2016 Lisans Matematik kategorisinde Sercan (23,218 puan) tarafından  soruldu

Bir ekleme yapayım: Oluşan cismin yüzey alanı da sonsuz mu olur?

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

İlk olarak harmonik serileri ve harmonik genel terimli integrali düşünelim bu integral ıraksaktır.Ama hacim almak için karesini aldığımızda $\dfrac{1}{n^2}$ genel terimine kavuşur ki bu da p-testi gereği yakınsaktır ve bu soruya örnek teşkil eder...


$\displaystyle\int_a^b\pi.[f(x)]^2dx$    bize, x ekseni etrafında döndürülen f eğrisinin  eksen arasında kalan  hacmini verirdi buradan yola çıkarak...



Genel çözüm için kareleri ;$(\dfrac{1}{n^p})^2$  bu denklemde $2p>1$ için sağlanan ıntegraller yakınsaktır demekki $1 \ge p>1/2$  olmalıdır.


$1 \ge p>1/2$  için  genel olarak;

$\displaystyle\int_{a\in\mathbb{R^+}}^{\infty}\left(\dfrac{1}{x^p}\right)dx$   iken ıraksak

$\displaystyle\int_{a\in\mathbb{R^+}}^{\infty}\pi.\left(\dfrac{1}{x^p}\right)^2dx$  yakınsaktır deriz


Başlangıç için reel kümede herhangi bir sayı seçseydik o zaman;


$a\in\mathbb{R^-}$   ve  $b\in\mathbb{R^+}$  olsun

$\displaystyle\int^\infty_a \left(\dfrac{1}{x^p}\right)dx$  Alan için

$\displaystyle\int^0_a \left(\dfrac{1}{x^p}\right)dx+\displaystyle\int^b_0 \left(\dfrac{1}{x^p}\right)dx+\displaystyle\int^\infty_b \left(\dfrac{1}{x^p}\right)dx$  ıraksak


$\displaystyle\int^\infty_a\pi.\left(\dfrac{1}{x^p}\right)^2dx$  yani hacim için


$\displaystyle\int^0_a \pi.\left(\dfrac{1}{x^p}\right)^2dx+\displaystyle\int^b_0 \pi.\left(\dfrac{1}{x^p}\right)^2dx+\displaystyle\int^\infty_b \pi.\left(\dfrac{1}{x^p}\right)^2dx$ yakınsak


olur


11, Mayıs, 2016 Anil (7,670 puan) tarafından  cevaplandı
13, Mayıs, 2016 DoganDonmez tarafından düzenlendi

$a \in \mathbb R$ degi $a>0$ olmali. Cunku sifir civarindaki hacim de sonsuz.

$a\in\mathbb{R}\neq0$ desek olur ve 0 a kadar olanlarla 0 dan sonra olanları ayırırız

http://matkafasi.com/73908/%24-int_-infty-infty-frac-x-1-x-2-dx%24?show=73908#q73908 


ve olur

-1 alinca yine sifirdan gecer.

tamam işte lınkı oyuzden attım ,ayırıcaz.

$a\in\mathbb{R^-}$   ve  $b\in\mathbb{R^+}$  olsun


$\displaystyle\int^\infty_a f(x)dx$ diye tanımlanmışsa

$\displaystyle\int^0_a f(x)dx+\displaystyle\int^b_0 f(x)dx+\displaystyle\int^\infty_b f(x)dx$ yapacaz

a,0
0.b
b,sonsuz

olarak ayirman gerekir  ve "0,b" araliginda hacim de iraksak olur.

ya yemın ederım byi yazdım sonra dedım nıye yazdım sıldım:) kafa gidip gidip geliyor uyuyayım en iyisi:)

düzelttim               

Cevapta da duzeltseydin :)

düzelttim ve 3 e ayırdım sonuçları kontrol edermisiniz. teşekkürler

Tamam da $0,b$ kismi icin $1/n^{2p}$ iraksak oluyor. Bunu iyorum kactir, dedigim bu, demek istedigim aslinda tam da bu, buydu demek istedigim. Yani sonuncusu kesinlikle iraksak.

...