Diger yanitta verdigim baglantidaki ispati direk aktariyorum.
Diyelim ki $i$ uzunluktaki dongu sayimiz $c_i$ olsun ve $k$ tane dongu olsun. O halde $$1c_2+2c_2+\cdots+kc_k=n$$ Bu su demek, cesitli boyutlarda yuvarlak masalarimiz var. Masalarimiz $1$ kisilikten $k$ kisilige kadar ve $i$ kisilik masadan $c_i$ tane var. Toplamda da $n$ kisilik yer var. Bu masalara $n$ tane kisiyi kac farkli sekilde oturtabiliriz. $n!$ sekilde oturturuz. Ama $i$ kisilik masada oturanlari birer yana kaydirdigimizda oturma bicimleri degismez. O halde o masa icin $i$ kere sayismisiz ayni oturusu. $c_i$ tane $i$ kisilik masa oldugu icin $i^{c_i}$ kere saymisiz. Demek ki $n!$ sayisini $i^{c_i}$ sayisina bolmeliyiz. Ayrica $i$ kisilik masanin yerini baska bir $i$ kisilik masayla degistirirsek oturma bicimi yine degismez. O halde bir $c_i!$'e bolmeliyiz $n!$'i. Sonuc olarak uzunlugu $i$ olan $c_i$ sayida donguye sahip ve $k$ tane farkli uzunlukta donguye sahip bir eslenik sinifin eleman sayisi sudur: $$n!(\prod_{i=1}^k i^{c_i}\prod_{i=1}^kc_i!)^{-1}$$
