Simetrik gruplarda; bir eşlenik sınıfındaki eleman sayısını veren formül nedir?

Question

İspatını nasıl yapabilirim?

Answer 1

Diger yanitta verdigim baglantidaki ispati direk aktariyorum.

Diyelim ki $i$ uzunluktaki dongu sayimiz $c_i$ olsun ve $k$ tane dongu olsun. O halde $$1c_2+2c_2+\cdots+kc_k=n$$ Bu su demek, cesitli boyutlarda yuvarlak masalarimiz var. Masalarimiz $1$ kisilikten $k$ kisilige kadar ve $i$ kisilik masadan $c_i$ tane var. Toplamda da $n$ kisilik yer var. Bu masalara $n$ tane kisiyi kac farkli sekilde oturtabiliriz. $n!$ sekilde oturturuz. Ama $i$ kisilik masada oturanlari birer yana kaydirdigimizda oturma bicimleri degismez. O halde o masa icin $i$ kere sayismisiz ayni oturusu. $c_i$ tane $i$ kisilik masa oldugu icin $i^{c_i}$ kere saymisiz. Demek ki $n!$ sayisini $i^{c_i}$ sayisina bolmeliyiz. Ayrica $i$ kisilik masanin yerini baska bir $i$ kisilik masayla degistirirsek oturma bicimi yine degismez. O halde bir $c_i!$'e bolmeliyiz $n!$'i. Sonuc olarak uzunlugu $i$ olan $c_i$ sayida donguye sahip ve $k$ tane farkli uzunlukta donguye sahip bir eslenik sinifin eleman sayisi sudur: $$n!(\prod_{i=1}^k i^{c_i}\prod_{i=1}^kc_i!)^{-1}$$

Comments

Teşekkür ediyorum.

---

Bu sefer anlasilir oldu degil mi?

---

Çok daha anlaşılır oldu. Sağol.

Answer 2

Simetrik gruplarda eslenik gruplari tamsayi parcalanislariyla verilir. Yani $S_n$ de bir eslenik sinifi toplami $n$ yapan pozitif azalan dizilerle karakterize edilir. Bu su yuzden dogru. $S_n$'de iki eleman yalnizca dongu tipleri ayniysa esleniktir. Ve dongu tipleri ayni olan elemanlar da esleniktir. Bunu saymayi da surasi anlatiyor.

https://www.math.wisc.edu/~ddrake/pdf/size-of-conjugacy-class-symmetric-group.pdf

birinci sayfanin sonu.

Comments

Senden önce indirdim bunu. Ama ispatı anlamadım!