Üçüncü dereceden bir polinom fonksiyonun simetri merkezinin, dönüm noktası olduğunu ispatlayınız.

2 beğenilme 0 beğenilmeme
12,725 kez görüntülendi

Üçüncü dereceden bir polinom fonksiyonun simetri merkezinin, dönüm noktası olduğunu ispatlayınız.

5, Mayıs, 2016 Serbest kategorisinde Mehmet Toktaş (18,827 puan) tarafından  soruldu
20, Mart, 20 alpercay tarafından düzenlendi

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ olsun. Dönüm noktasının apsisini $f''(x)=6ax+2b=0 \Rightarrow x=-\frac{b}{3a}$ olarak bulduk. $f(x)$ fonksiyonunun simetri merkezi $M(-\frac{a}{3b},f(-\frac{a}{3b}))$ noktası olduğuna göre $f(x-\frac{a}{3b})+f(-x-\frac{a}{3b})=2f(-\frac{a}{3b})$ diyebiliriz. İşin asıl karmaşık kısmı burada çünkü biraz(!) işlemli.

$f(x-\frac{a}{3b})=a(x^3-3x^2\frac{a}{3b}+3x(\frac{a}{3b})^2-(\frac{a}{3b})^3)+b(x^2-2x\frac{a}{3b}+(\frac{a}{3b})^2)+c(x-\frac{a}{3b})+d \\ f(x-\frac{a}{3b})=-a(x^3+3x^2\frac{a}{3b}+3x(\frac{a}{3b})^2+(\frac{a}{3b})^3)+b(x^2+2x\frac{a}{3b}+(\frac{a}{3b})^2)-c(x+\frac{a}{3b})+d \\ f(x-\frac{a}{3b})+f(-x-\frac{a}{3b})=\frac{4b^2}{9a^2}-\frac{2cb}{3a}+2d$

bulduk, son bulduğumuz bir kenarda dursun, lazım olacak. Şimdi gelelim eşitliğin karşı tarafına.

$2f(-\frac{a}{3b})=a(-\frac{a}{3b})^3+b(-\frac{a}{3b})^2+c(-\frac{a}{3b})+d$

$ =\frac{4b^2}{9a^2}-\frac{2cb}{3a}+2d$ bulduk, en başta "$f(x)$ fonksiyonunun simetri merkezi $M(-\frac{a}{3b},f(-\frac{a}{3b}))$ noktası olduğuna göre $f(x-\frac{a}{3b})+f(-x-\frac{a}{3b})=2f(-\frac{a}{3b})$ diyebiliriz." demiştik ve bunun da sağlandığını gördük. O halde gönül rahatlığıyla "Üçüncü dereceden bir polinom fonksiyonunun simetri merkezi dönüm noktasıdır." diyebiliriz.

5, Mayıs, 2016 sonelektrikbukucu (2,876 puan) tarafından  cevaplandı
5, Mayıs, 2016 Mehmet Toktaş tarafından seçilmiş

Emeğine sağlık sayın @Moriartied. Çok teşekkür ederim.  Acaba $f$ fonksiyonunun tanım kümesindeki her $x$ için $f(x-\frac{a}{3b})=f(-x-\frac{a}{3b})$ olduğunu göstermek yeterli olmaz mıydı?

Olabilir, ama ikisi de zahmetli hocam. Kolay yolu varsa siz de yazabilir misiniz?

simetri merkezı nedır tanımını yaparmısın soruya çok müteşekkir kalırım ,tebrikler güzel çozum

Hayır ben sadece düşüncenizi öğrenmek istedim. Elbette biraz işlem yapmak gerekiyor. Sizi istemeden yorduğum için affınızı diliyorum.

Estağfirullah hocam soruyla uğraşırken gayet eğlendim, güzel bir soru teşekkürler :) Şu an ben tanımı yapamadım, Mehmet hoca ikimizin de anlayacağı bir tanım yapar umarım.

Üçüncü dereceden bir $f$ polinom fonksiyonun simetri merkezi $(a,b)$ noktası ise,her $(x_1,y_1)\in f$ için $(2a-x_1,2b-y_1)\in f$  olmasıdır. Yani grafiğin noktaları simetri merkezine göre simetriktir.

Ben epey apsisli ordinatli bir sey yazacaktim iyi ki size sormusum hocam sagolun.
...