Question

Üçüncü dereceden bir polinom fonksiyonun simetri merkezinin, dönüm noktası olduğunu ispatlayınız.

Answer 1

$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ olsun. Dönüm noktasının apsisini $f''(x)=6ax+2b=0 \Rightarrow x=-\frac{b}{3a}$ olarak bulduk. $f(x)$ fonksiyonunun simetri merkezi $M(-\frac{a}{3b},f(-\frac{a}{3b}))$ noktası olduğuna göre $f(x-\frac{a}{3b})+f(-x-\frac{a}{3b})=2f(-\frac{a}{3b})$ diyebiliriz. İşin asıl karmaşık kısmı burada çünkü biraz(!) işlemli.

$f(x-\frac{a}{3b})=a(x^3-3x^2\frac{a}{3b}+3x(\frac{a}{3b})^2-(\frac{a}{3b})^3)+b(x^2-2x\frac{a}{3b}+(\frac{a}{3b})^2)+c(x-\frac{a}{3b})+d \\ f(x-\frac{a}{3b})=-a(x^3+3x^2\frac{a}{3b}+3x(\frac{a}{3b})^2+(\frac{a}{3b})^3)+b(x^2+2x\frac{a}{3b}+(\frac{a}{3b})^2)-c(x+\frac{a}{3b})+d \\ f(x-\frac{a}{3b})+f(-x-\frac{a}{3b})=\frac{4b^2}{9a^2}-\frac{2cb}{3a}+2d$

bulduk, son bulduğumuz bir kenarda dursun, lazım olacak. Şimdi gelelim eşitliğin karşı tarafına.

$2f(-\frac{a}{3b})=a(-\frac{a}{3b})^3+b(-\frac{a}{3b})^2+c(-\frac{a}{3b})+d$

$=\frac{4b^2}{9a^2}-\frac{2cb}{3a}+2d$ bulduk, en başta "$f(x)$ fonksiyonunun simetri merkezi $M(-\frac{a}{3b},f(-\frac{a}{3b}))$ noktası olduğuna göre $f(x-\frac{a}{3b})+f(-x-\frac{a}{3b})=2f(-\frac{a}{3b})$ diyebiliriz." demiştik ve bunun da sağlandığını gördük. O halde gönül rahatlığıyla "Üçüncü dereceden bir polinom fonksiyonunun simetri merkezi dönüm noktasıdır." diyebiliriz.

Comments

Emeğine sağlık sayın @Moriartied. Çok teşekkür ederim.  Acaba $f$ fonksiyonunun tanım kümesindeki her $x$ için $f(x-\frac{a}{3b})=f(-x-\frac{a}{3b})$ olduğunu göstermek yeterli olmaz mıydı?

---

Olabilir, ama ikisi de zahmetli hocam. Kolay yolu varsa siz de yazabilir misiniz?

---

simetri merkezı nedır tanımını yaparmısın soruya çok müteşekkir kalırım ,tebrikler güzel çozum

---

Hayır ben sadece düşüncenizi öğrenmek istedim. Elbette biraz işlem yapmak gerekiyor. Sizi istemeden yorduğum için affınızı diliyorum.

---

Estağfirullah hocam soruyla uğraşırken gayet eğlendim, güzel bir soru teşekkürler :) Şu an ben tanımı yapamadım, Mehmet hoca ikimizin de anlayacağı bir tanım yapar umarım.

---

Üçüncü dereceden bir $f$ polinom fonksiyonun simetri merkezi $(a,b)$ noktası ise,her $(x_1,y_1)\in f$ için $(2a-x_1,2b-y_1)\in f$  olmasıdır. Yani grafiğin noktaları simetri merkezine göre simetriktir.

---

Ben epey apsisli ordinatli bir sey yazacaktim iyi ki size sormusum hocam sagolun.