$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ olsun. Dönüm noktasının apsisini $f''(x)=6ax+2b=0 \Rightarrow x=-\frac{b}{3a}$ olarak bulduk. $f(x)$ fonksiyonunun simetri merkezi $M(-\frac{a}{3b},f(-\frac{a}{3b}))$ noktası olduğuna göre $f(x-\frac{a}{3b})+f(-x-\frac{a}{3b})=2f(-\frac{a}{3b})$ diyebiliriz. İşin asıl karmaşık kısmı burada çünkü biraz(!) işlemli.
$f(x-\frac{a}{3b})=a(x^3-3x^2\frac{a}{3b}+3x(\frac{a}{3b})^2-(\frac{a}{3b})^3)+b(x^2-2x\frac{a}{3b}+(\frac{a}{3b})^2)+c(x-\frac{a}{3b})+d \\ f(x-\frac{a}{3b})=-a(x^3+3x^2\frac{a}{3b}+3x(\frac{a}{3b})^2+(\frac{a}{3b})^3)+b(x^2+2x\frac{a}{3b}+(\frac{a}{3b})^2)-c(x+\frac{a}{3b})+d \\ f(x-\frac{a}{3b})+f(-x-\frac{a}{3b})=\frac{4b^2}{9a^2}-\frac{2cb}{3a}+2d$
bulduk, son bulduğumuz bir kenarda dursun, lazım olacak. Şimdi gelelim eşitliğin karşı tarafına.
$2f(-\frac{a}{3b})=a(-\frac{a}{3b})^3+b(-\frac{a}{3b})^2+c(-\frac{a}{3b})+d$
$ =\frac{4b^2}{9a^2}-\frac{2cb}{3a}+2d$ bulduk, en başta "$f(x)$ fonksiyonunun simetri merkezi $M(-\frac{a}{3b},f(-\frac{a}{3b}))$ noktası olduğuna göre $f(x-\frac{a}{3b})+f(-x-\frac{a}{3b})=2f(-\frac{a}{3b})$ diyebiliriz." demiştik ve bunun da sağlandığını gördük. O halde gönül rahatlığıyla "Üçüncü dereceden bir polinom fonksiyonunun simetri merkezi dönüm noktasıdır." diyebiliriz.