{{x},{x,y}}={{z},{z,t}} ise x=z ve y=t olduğunu gösterin.
Kanıt. x≠y ve z≠t olsun. O zaman {{x},{x,y}} kümesinin küme eşitliği aksiyomundan dolayı iki elemanı vardır: {x} ve {x,y}. x≠y olduğundan ve küme eşitliği aksiyomundan dolayı {x,y} kümesinin iki elemanı vardır: x,y. Benzer şekilde, {{z},{z,t}} kümesinin küme eşitliği aksiyomundan iki elemanı vardır: {z} ve {z,t}. {z,t} kümesinin ise aynı nedenlerden iki elemanı vardır: z ve t.
Şimdi, diyelim ki {x}={z,t}. Ama, biri bir elemanlı diğeri ise iki elemanlı küme, demek ki eşit değilmiş, demek ki x=z imiş. O zaman, yine küme eşitliği aksiyomundan, {x,y}={z,t} olur, yani, y=t.
Son olarak, x=y ve z=t eşitliğini varsayalım, o zaman, küme eşitliği aksiyomundan, hem {{x},{x,y}} kümesinin hem de {{z},{z,t}} kümesinin bir elemanı vardır, yani x=y=z=t.
NOT: Kanıtımı inceleyebilir misiniz?