$\mathbb Q(\sqrt a,\sqrt b)=\mathbb Q(\sqrt a+\sqrt b)$ ne zaman saglanir?

2 beğenilme 0 beğenilmeme
86 kez görüntülendi

Soru: $a,b$ tam kare icermeyen farkli pozitif tam sayilar olsun. Hangi sartlar altinda $$\mathbb Q(\sqrt a,\sqrt b)=\mathbb Q(\sqrt a+\sqrt b)$$ olur.

Ornekler: 
1) $\mathbb Q(\sqrt 2,\sqrt 3)=\mathbb Q(\sqrt 2+\sqrt 3)$,
2) $\mathbb Q(\sqrt 5,\sqrt 7)=\mathbb Q(\sqrt 5+\sqrt 7)$.

4, Mayıs, 2016 Lisans Matematik kategorisinde Sercan (23,839 puan) tarafından  soruldu

başındaki Q ların anlamı nedir, soru tam ne istiyor.

Rasyonal sayilar cismi.

Anahtar kelimeler: Cisimler, Cisim genislemeleri
Istenen: yukaridaki sartlardaki iki farkli cisim genislemesi ne zaman ayni olur.

$a$ ve $b$ tamsayıları için şartlar arıyoruz değil mi? Örneğin, her ikiside asal ise sağlanır gibi.

Evet.

Galiba her zaman dogru. $$(\sqrt a +\sqrt b)^3=(a+3b)\sqrt{a}+(b+3a)\sqrt{b}$$ olur. $$\left|\begin{matrix} 1&1 \\ a+3b & b+3a \end{matrix}\right|=2(a-b) \ne 0$$ oldugundan $$\sqrt{a},\sqrt{b} \in \mathbb Q(\sqrt{a}+\sqrt{b})$$ olur.  Kare kok yerine kup kok vs alsak bu saglanmayabilir herhalde. 

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Kolay kismini yine de yazarsak: $$\sqrt a+\sqrt b \in \mathbb Q(\sqrt a,\sqrt b)$$ oldugundan $$\mathbb Q(\sqrt a+\sqrt b ) \subseteq \mathbb Q(\sqrt a,\sqrt b)$$ saglanir.


Koklerden kurtulmamak icin $$(\sqrt a +\sqrt b)^3=(a+3b)\sqrt{a}+(b+3a)\sqrt{b}$$ ile ilgilenelim. Dolayisiyla $$\frac{1}{2(a-b)}\left[(\sqrt a +\sqrt b)^3-(a+3b)(\sqrt a +\sqrt b)\right]=\sqrt a$$ ve $$\frac{1}{2(b-a)}\left[(\sqrt a +\sqrt b)^3-(b+3a)(\sqrt a +\sqrt b)\right]=\sqrt b$$ esitlikleri saglanir. Bu da bize $$\sqrt{a},\sqrt{b} \in \mathbb Q(\sqrt{a}+\sqrt{b})$$ oldugunu verir. Dolayisiyla $$\mathbb Q(\sqrt a,\sqrt b ) \subseteq \mathbb Q(\sqrt a+\sqrt b)$$ de saglanir.

6, Kasım, 6 Sercan (23,839 puan) tarafından  cevaplandı
tam sinav kagidina yazmalik cevap

Sinav kagidina bir cumle daha yazardim. 

@Sercan $a \neq b$?

Evet, soruda onu belirtmistim. 

Hatta soruda kare icermeyen dedim ama farkli herhangi iki pozitif rasyonel sayi icin de gecerli oluyor. Zaten o kisim cikarima giriyor.

Genel hali icin dereceden yaklasmak daha mantikli geliyor. Biri digerini iceriyor zaten. Genisleme dereceleri ayni ise esit olurlar. Geneline de bir el atacam. 

Sınav kağıdına yazacağın cümle için acaba o mu demiştim. Ne yazardın merak ettim :)

...