Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
542 kez görüntülendi


Lisans Matematik kategorisinde (2.9k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 542 kez görüntülendi

Bunlar vektör uzayı olarak izomorftur (üreteci üretece taşırsanız) ancak cisim olarak izomorf olmazlar. İzomorf olduğunu kabul edip çelişkiye düşebilirsiniz. Katsayılar rasyonel gelmez.

Cevabiniz icin tesekkurler. Asagidaki iki cisim genislemelerinin yapilarinin boyle oldugunu biliyorum


$\mathbb{Q}(\sqrt{2})=\{a+b\sqrt2 |a,b \in\mathbb{Q}\}$

$\mathbb{Q}(i)=\{a+b i|a,b \in\mathbb{Q}\}$


Peki asagidakinin hangisi dogru?

$\mathbb{Q}(\sqrt{2}i)=\{a+b\sqrt2i|a,b \in\mathbb{Q}\}$

$\mathbb{Q}(\sqrt{2}i)=\{a+b\sqrt2+ci|a,b,c \in\mathbb{Q}\}$

Ustte yazdığınız dogru. Acil değilse birkaç gün sonra konuyu açıklasam olur mu?

$\Bbb{Q}(i\sqrt{2})$; rasyonel sayılar cismine $i\sqrt{2}$ eklenmesiyle elde edilen cisim. Bu elemanı  kök kabul eden rasyonel katsayılı indirgenmez monik polinom $p(x)=x^2+2$.(Eisenstein kriterinden indirgenmezliğini görebilirsin). $\Bbb{Q}[x]/<p(x)>=\{f(x)+<p(x)>\mid f(x)\in \Bbb{Q}[x]\}=\{\bar{a} + \bar{b}\bar{x}+<p(x)> \mid a, b\in \Bbb{Q}\}$ şeklindedir.(Bölüm algoritmasını uyguladığımızda; $f(x)=p(x)q(x)+r(x)$ ve $r(x)=0$ veya $der r(x)< der p(x)=2$).

Böylece $\Bbb{Q}(i\sqrt{2})=\{a+bi\sqrt{2} \mid a, b\in \Bbb{Q}\}$ şeklindedir.

20,200 soru
21,726 cevap
73,275 yorum
1,887,832 kullanıcı