Spec($\mathbb{R}[X]$) kümesi nelerden oluşur?

Question

Değişmeli ve birimli bir $R$ halkası için, Spec$R$, $R$'nin asal ideallerinin kümesi olarak tanımlanır. Dolayısıyla bu soruda $\mathbb{R}[X]$ halkasının asal ideallerinin ne olduğunu bulmak gerekiyor.

Comments

Acaba bu soruda tam olarak ne sorulduğunu açıklayabilir misiniz?

Answer 1

$\mathbb{R}[x]$ deki indirgenemez ($\mathbb{R}[x]$ tek tip çarpanlara ayrılabilme bölgesi olduğundan  asal) polinomların en çok ikinci derece  olduğunu şöyle gösterebiliriz. $P(x)$ in derecesi en az 3 olsun. $a\in\mathbb{C},\ P(x)$ in kompleks bir kökü olsun. $a\in\mathbb{R}$ ise $x-a,\ P(x)$ i böler ve bölüm polinomu da (en az 2. derecedir ve) $\mathbb{R}[x]$ dedir. $a\notin\mathbb{R}$ ise $\bar{a}$ de $P(x)$ in bir köküdür ve $a\neq\bar{a}$ dır. Buradan $(x-a)(x-\bar{a})\in \mathbb{R}[x]$ dir ve $P(x)$ i böler ve bölüm polinomu da (en az 1. derecedir ve) $\mathbb{R}[x]$ dedir. Dolayısıyla, $\mathbb{R}[x]$ de derecesi 2 den büyük indirgenemez polinom yoktur. Her cisimde,  ikinci (ve üçüncü) derece polinomların  indirgenemez olması için gerek ve yeter koşul polinomun  (o cisimde)  kökü olmaması  olduğu aşikardır.

(Not: bunun sonucu olarak (teorik olarak!) tüm rasyonel fonksiyonları, (basit kesirlere ayrıştırma kullanarak) elemanter fonksiyonlar ile integralleyebiliyoruz)

Answer 2

$\mathbb{R}[x]$ de asal idealler monik 1. veya (gerçel kökü olmayan) monik 2. derece polinomlarla üretilir. Gerçel kökü olmayan 2. derece polinomların (kompleks) kökleri birbirinin eşleniğidir. Bunu kullanarak, Spec$\left(\mathbb{R}[x]\right)$ ile $\{z\in\mathbb{C}: \textrm{Im}\ z\geq0\}$ kümesi arasında doğal bir eşleme şöyle kurulabilir:

$I=(x-a)\mathbb{R}[x]\mapsto a$,

$I=(x^2+ax+b)\mathbb{R}[x]\mapsto \frac{-a+i\sqrt{4b-a^2}}{2}\quad (a^2-4b<0)$

Answer 3

ℝ[x] de asal idealler monik 1. veya (gerçel kökü olmayan) monik 2. derece polinomlarla üretilir.  Bu kısmı biraz açabilir misin?