f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots+a_2x^2+a_1x+a_0 olsun.
\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a) olduğunu göstereceğiz.
\lim\limits_{x\to a}x=a olduğunu limit tanımından kolayca gösterebilirsin. Sonrasında da şu teoremlerden faydalanalım.
(1) İki fonksiyonun toplamının limiti, ayrı ayrı limitlerinin toplamına eşittir.
(2) İki fonksiyonun çarpımının limiti, ayrı ayrı limitlerinin çarpımına eşittir.
\lim\limits_{x\to a}a_nx^n\overset{(2)}=a_n\cdot\lim\limits_{x\to a}x^n=a_n\cdot\underset{n \text{ tane}}{\underbrace{\lim\limits_{x\to a}x\cdot \lim\limits_{x\to a}x\cdot\ldots\cdot\lim\limits_{x\to a}x}}=a_n\cdot a\cdot a\cdot a\cdot\ldots \cdot a=a_n\cdot a^n olacaktır. O halde
\lim\limits_{x\to a}f(x)
=
\lim\limits_{x\to a}(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots+a_2x^2+a_1x+a_0)
\overset{(1)}=
\lim\limits_{x\to a}a_nx^n +\lim\limits_{x\to a}a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+\lim\limits_{x\to a}a_1x+\lim\limits_{x\to a}a_0
\overset{(2)}=
a_n\cdot\lim\limits_{x\to a}x^n +a_{n-1}\cdot\lim\limits_{x\to a}x^{n-1}+\ldots+a_1\cdot\lim\limits_{x\to a}x+a_0
=
a_n\cdot a^n +a_{n-1}\cdot a^{n-1}+\ldots+a_1\cdot a+a_0
=
f(a) olur.