Polinom fonksiyonlarin limiti

Question

$f\left( x\right)$, polinom fonksiyon ise 

$\lim _{x\rightarrow a}f\left( x\right) =f\left( a\right)$ oluyor. Neden a nin sağdan ve soldan yaklastigi degerlere bakmiyoruz,  $f\left( a\right)$ 'daki degerini alıyoruz?

Comments

Polinomların sürekli olduğunu ispatladıktan sonra, sürekli olduğunu bildiğimizden, limit değerinin o noktadaki değeri olduğunu rahatlıkla söyleyebiliriz.

---

Hocam peki polinom fonksiyon gibi bu ozellige uyan baska surekli fonksiyonlar var mi?

---

Logaritma fonksiyonu da buna uyuyor mesela

---

Sürekliliğin tanımı bu zaten.

Answer 1

$$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots+a_2x^2+a_1x+a_0$$ olsun.

$$\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)$$ olduğunu göstereceğiz.

$$\lim\limits_{x\to a}x=a$$ olduğunu limit tanımından kolayca gösterebilirsin. Sonrasında da şu teoremlerden faydalanalım.

(1) İki fonksiyonun toplamının limiti, ayrı ayrı limitlerinin toplamına eşittir.

(2) İki fonksiyonun çarpımının limiti, ayrı ayrı limitlerinin çarpımına eşittir.

$$\lim\limits_{x\to a}a_nx^n\overset{(2)}=a_n\cdot\lim\limits_{x\to a}x^n=a_n\cdot\underset{n \text{ tane}}{\underbrace{\lim\limits_{x\to a}x\cdot \lim\limits_{x\to a}x\cdot\ldots\cdot\lim\limits_{x\to a}x}}=a_n\cdot a\cdot a\cdot a\cdot\ldots \cdot a=a_n\cdot a^n$$ olacaktır. O halde

$$\lim\limits_{x\to a}f(x)$$

$$=$$

$$\lim\limits_{x\to a}(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots+a_2x^2+a_1x+a_0)$$

$$\overset{(1)}=$$

$$\lim\limits_{x\to a}a_nx^n +\lim\limits_{x\to a}a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+\lim\limits_{x\to a}a_1x+\lim\limits_{x\to a}a_0$$

$$\overset{(2)}=$$

$$a_n\cdot\lim\limits_{x\to a}x^n +a_{n-1}\cdot\lim\limits_{x\to a}x^{n-1}+\ldots+a_1\cdot\lim\limits_{x\to a}x+a_0$$

$$=$$

$$a_n\cdot a^n +a_{n-1}\cdot a^{n-1}+\ldots+a_1\cdot a+a_0$$

$$=$$

$$f(a)$$ olur.

Comments

Cok tesekkurler hocam

---

Ek olarak: $(x-a)$ kuvvetleri ile yazip ucgen esitsizligi kullanarak direkt tanim ile de ispatlanabilir.