$\star\star$$\star\star$ Ekmek kesmek

Question

Eğer küresel bir ekmek somununu eşit genişlikli parçalara bölerseniz,

her dilimde aynı miktarda kabul bulunacağını ispatlayınız.

$y=\sqrt{r^2-x^2}$ yarıçemberini bir küre oluşturacak şekilde

x ekseni etrafında döndürdüğümüzü varsayın.$AB$   , x-eskseninde $h$ uzunluğunda

bir aralığın karşısındaki yay olsun. $AB$ yayının taradığı alanın,aralığın bulunduğu yere bağlı olmadığını

gösteriniz.(Aralığın uzunluğuna bağlıdır.)

Comments

Yorumu begenmedim, kaldiriyorum:)

---

aman hocam döndürmeyin ekmek musaf çarpar.

---

Bence bir çemberde paralel kirişler arasındaki yayların uzunluklarının eşit olmasından istenen çıkar.

---

paraleller arasındakıler esıt ama dıger paraleller arasında nasıl esıtlıgını kanıtlarız sayon hocam?

ben egrı uzunlugunu entegrasyon yapıp arcsın(x/r) buldum.

---

Evet öyle yani integralle eşitlikleri gösterilebilir.

Peki $\lim_{h\to 0}$ için dilimlerin kabuklarının durumu ne olur acaba? Yine eşit olduklarını söyleyebilir miyiz?

---

bence asıl ozaman daha da eşit olmalılar veya belirsiz,tanımsız olmalılar.

---

Sayın @fotonyiyenadam, bu ve daha önce siteye yazdığın bir çok soru gerçekten çok güzel, düşündürücü. Bu güne kadar dikkatlerden kaçmış ya da düşünülememiş hususlar. Ben genelinde çok beğeniyorum. Sorgulamanın ne kadar önemli olduğunun bol bol örneklerini veriyorsun. Ancak özellikle akademik çevrelerden yorumların gelmesini bekliyoruz. Ama bazen bu olamıyor ya da az oluyor. 

---

Teşekkürler hocam , hocam, size Mehmet hocam desem, sizde bana sadece anıl deseniz çok mutlu olurum sizce de uygun mudur? :)

---

Olur Anılcığım.

---

$f$ fonksiyonu $(a,b)$ aralığında integrallenebilir olsun ve $a\neq b$ olsun


$\displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx$  bize $[a,b]$ aralıgındakı egrı uzunlugunu verıcektır.


dolayısıyla bu ıntegralden başka, $|a-b|=|c-d|$ gibi bir $[c,d]$ aralığı için de aynı integralleri eşitlersem sıkıntı kalmaz.


$y=f(x)=\sqrt{r^2-x^2}$


$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{-x}{\sqrt{r^2-x^2}}$ karesini alıp 1 ile toplayıp kökünü alıp entegrasyon yapalım


$\displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+\dfrac{x^2}{r^2-x^2}}dx=\displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{\dfrac{r^2}{r^2-x^2}}dx=\displaystyle\int_{a}^{b}\dfrac{dx}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{r}\right)^2}}=\left[arcsin\left(\frac{x}{r}\right)\right]^{^{b}}_{_{a}}$  buradan sonrası gelmedi.

Answer 1

$\int_a^{a+h}2\pi.f(x).\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx$  integrali bize, şekilde mavi renkli dilimin $x$ ekseni etrafında $360^0$ döndürülmesi halinde $AB$ yayının oluşturacağı toplam kabuk alanını verecektir. Bu sebeple ;$\int_a^{a+h}2\pi.f(x).\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx=\int_{a+h}^{a+2h}2\pi.f(x).\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx$ olduğunu göstermek yeterlidir. Önce ilk inteğrali alalım:

$$\int_a^{a+h}2\pi.\sqrt{r^2-x^2}\sqrt{1+[\frac{-2x}{2\sqrt{r^2-x^2}}]^2}dx$$

$$= \int_a^{a+h}2\pi.\sqrt{r^2-x^2}\frac{r}{\sqrt{r^2-x^2}}dx= 2\pi.r\int_a^{a+h}dx=2\pi.r.h$$ olur. Aynı şekilde diğer inteğralde benzer yolla : $$2.\pi.r\int_{a+h}^{a+2h}dx=2.\pi.r.h$$ olur. Demek ki kabuk alanları eşittir.

Comments

Küre ipucunu tam olarak kullanmışsınız .Çok iyi ,teşekkürler hocam.

---

Önemli değil Anıl.