Mantıksal Denk

1 beğenilme 0 beğenilmeme
260 kez görüntülendi

$p(x)$ konu evreni $X$ olan tek değişkenli bir açık önerme olmak üzere

$$\forall x\in X, p(x)$$ önermesi ile $$x\in X \Rightarrow p(x)$$ önermesi denk önermeler midir?

12, Nisan, 2015 Lisans Matematik kategorisinde murad.ozkoc (8,693 puan) tarafından  soruldu

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Burada denk onermlereden ne kast ettiginiz onemli. Oncelikle ilk onermeyi $\forall x p(x)$ olarak yazarsak sentaks acisindan daha dogru olur. Bu durumda bu onermenin dogru olmasi her $x\in X$ icin $p(x)$ onermesinin dogru olmasi olarak tanimlanir.

Doalyisiyla yazdiginiz ikinci ifade birncinin dogru olmasinin tanimi. Ancak bu ifade, yani $x\in X\implies p(x)$ onermeler mantiginin bir onermesi degil. Yani meta-teoride yer alan ve anlami her $x\in X$ icin $p(x)$ olan bir kisaltma.

Eger denkten kastiniz,  "$\forall x p(x)$ onermesi dogrudur ancak ve ancak her $x\in X$ icin $p(x)$ onermesi dogrudur" ise bu dediginiz dogru ama yukarida dedigim gibi bu  $\forall x p(x)$ onermesinin dogrulugunun tanimi. 

Fakat $x\in X\implies p(x)$ bir onerme olmadigi icin, bu iki ifadenin denkliginden bahsedemeyiz. 

21, Nisan, 2015 Uğur Efem (46 puan) tarafından  cevaplandı

Öncelikle cevabınız için teşekkür ederim. Denk önermeden kastım doğruluk değerleri aynı olan önermeler. Bu durumda bir sorum daha olacak size.$$x\in \mathbb{R}\Rightarrow x^2\geq 0$$ ifadesi bir önerme değil mi? Değilse neden? 

Bahsettiğiniz ifadenin bir önerme olup olmadığına karar vermek için hangi dilde ve hangi mantık sisteminde çalıştığınızı belirtmeniz lazım.

Bahsettiğiniz ifadeyi $\mathbb{R}$'yi, $\geq$'yi ve gerçellerde çarpma işleminin tanımını kümeler üzerinden açık açık yazdığınızda, birincil derece mantıkta mantıksal olmayan semboller kümesi $\{\in\}$ olan dilde (yani kümeler kuramında) tek değişkenli bir formül olarak ifade edebilirsiniz. (Dediğim gibi burada $\mathbb{R}$'yi, $\geq$'i ve gerçellerde çarpmayı sadece $\in$ kullanarak ifade ettiğinizi varsayıyorum.)

Birincil derece mantıkta çalıştığımızı varsayalım. Uğur'un itirazı şu ki, eğer $\in$ sembolü dilinizin bir parçası değilse ve diliniz sadece $p$ predicate'ından oluşuyorsa, bu durumda "her x için p(x)" ifadesinin gramatik olarak doğru olan yazım şekli $\forall x\ p(x)$ olacaktır. Bunun dışında, eğer $\in$ sembolünü kapsayan bir dilde çalışıyorsanız tabii ki $\forall x \in X p(x)$ önermesinin de gramatik olarak doğru olduğunu iddia edebilirsiniz ancak bu durumda $X$ konu evreninizin tamamı değil, konu evreninizdeki bir obje olacaktır.

İkincil derece ya da yüksek dereceli diğer mantık sistemlerine geçerseniz, konu evreninizin çeşitli alt kümelerini niteleyen değişkenleri, $X$ gibi mesela, dilinize değişken sembolleri olarak katabilirsiniz ve $\forall x \in X p(x)$ önermesini gramatik olarak doğru bir hale de getirebilirsiniz tabii ancak sizin istediğiniz sanırım ilk durum. 

...