x+y+z nin en büyük değeri

Question

Bu yılki BEFMO(buca eğitim fakültesi matematik olimpiyatları)nda çıkmış bir olimpiyat sorusu derste sınıfça kafa yorduk bulamadık.Yardımcı olursanız sevinirim :)

x,y,z tamsayı $x^2+y^2+z^2=2011$ ise $x+y+z$ nin en büyük değeri nedir?

Saygılarımla,

İbrahim Emre Kıvanççı

Comments

<p> Soruyu ilk duyduğumda soruyu yanlış anlamışım x,y,z 'nin herbiri teker teker tamsayı olma gereği olduğuna dikkat etmemişim sadece x+y+z tamsayı sanmışım Aritmatik Ortalama-Geometrik Ortallama eşitsizliğinden cevabı 77 buldum,arkadaşım şıklarda 77' nin olmadığını söyleyince soruyu  daha düzgün dinledim ki x,y,z herbiri tamsayıymış.Yardımcı olursanız çok teşekkür ederim.<br>
</p>

---

x y z x+y+z
__________
7 21 39 67

7 39 21 67

9 9 43 61

9 29 33 71

9 33 29 71

9 43 9 61

21 7 39 67

21 27 29 77

21 29 27 77

21 39 7 67

27 21 29 77

27 29 21 77

29 9 33 71

29 21 27 77

29 27 21 77

29 33 9 71

33 9 29 71

33 29 9 71

39 7 21 67

39 21 7 67

43 9 9 61

---

Bence bu, soruya yanıt olsa da, aranılan çözüm bu değil. 

---

teşekkür ederim sercan hocam bende 77 buldum fakat şıklarda 71,72,74,76 ve 78 varmış yanlış hatırlamıyorsam.Hocam nasıl çözdünüz? bilgisayar yardımı ile mi? bilgasayar yardımı ile değilse çözümü anlatabilir misiniz? ilgilendiğiniz için teşekkür ederim

---

Safak hocam elementer çözüm istiyorlar olimpiyat esnasında soru başına zaman 10 dk civarı imiş. ben sercan hocanın çözümünü anlamadım

---

Bence olimpiyatlarda matematiksel olarka doğru her çözümü kabul ederler. Ama Sercan'ın çözümü bir kere şu yüzden eksik. Başka üçlü olmadığını göstermiyor. Büyük olasılıkla bilgisayarla çözmüştür, gerçi zehir gibi çocuk, direk aklından da yazmış olabilir.

---

Tamamen bilgisayar çözdü. Yani şöyle diyeyim, ilk bi test edeyim dedim, 77 doğru mu yanlış mı. Program da daha büyük cevap vermeyince, bilgisayara göre olası tüm degerleri kopyala yapıştır yaptım. Eğer 77'lerden biri doğruysa, bu örnek ile senin yaptığın ispatın da cevabı $\leq 77$ verdiğini düşünüyorum. Yani cevap 77 olmalı.

Ben direk 21 27 29 örneğini bulmuştum. Bir örnek de yeterli aslında, $\leq 77$ gösterildiyse.

---

Daha önce ki yorumum da haklıymışım , Sercan hocam zehir gibisiniz maaşallah demiştim:-)) haklı çıkmışım :-)))  , Yayınladığınız ''Diafont geri dönüyor'' adlı dizinizin bir bölümünde yakında senaryo değişikliği ( çiftler için ispatın giriş kısmında değişiklik yapacağım) , umarım tekler için bir çözüm bulabilirim soru ciddi ciddi çok inatçı:-))

Answer 1

$3(x^2+y^2+z^2)\geq (x+y+z)^2$ iyi biliniyor (biz karesel ortalama $\geq A.O$ diyelim buradan 

$3.2011\geq (x+y+z)^2$ olduğuna göre $x+y+z<78$ olduğu görülür 77 yi veren bir tamsayı üçlüsü var(21,27,29) bu yüzden cevabın 77 olması gerekir 

Comments

yavuz hocam hocam aynı işlemleri bende yaptım (21,27,29) üçlüsünü bulamamıştım şimdi oda bulununca cevap 77 oluyor fakat 77 şıklarda yokmuş şaşkınlık içerisindeyim sınava giren arkadaşıma söyliyeceğim biraz araştırılsın konu  

---

Cevap benim için fazla önemli değil işlemler önemli soru Dediğiniz gibi ise cevabın 77 olduğundan süphe yok

Answer 2

ilgileriniz için teşekkür ederim