Soru da vardi, cevap da.
3-4 ben ispatladim, Dogan hoca da ispatlamisti, Murad hoca da. Var oldugunu biliyorsan... Fakat turevle ispatlamis miydi ilmiyorum, daha elementer yolu oldugundan.
Sorunun çözümü Burada var
asinx+bcosx=A isetürev alalım acosx−bsinx=A′ A′=0 iken ekstremumları inceleyelim.acosx=bsinxtanx=ab olur buradaki x değeri tüm ifadeyi maximum yapar,tanx=abarctanab=x dirhatta buna gerek kalmadan cosx ve sinx'i bu üçgen yardımı ile bulup ana ifadede yerine yazalım.sinx=a√a2+b2cosx=b√a2+b2asinx+bcosx=A isea2√a2+b2+b2√a2+b2=√a2+b2=Amaxdolayısıyla−√a2+b2=Amin (amin!!)
Çok teşekkür ederim
rica ederim efendim
Şekildeki dikdörtgenden asinx+bcosx≤√a2+b2 olduğu görülür.
<,> ile standart iç çarpımı gösterelim ve a,b sabit sayılar olsun.f(x)=asinx+bcosx=<(a,b),(sinx,cosx)>=<α,β> olarak tanımlayalım. α ve β vektörleri arasındaki açı 0 iken fmaks ve π iken fmin değerini elde ederiz. Buna göre fmaks=|α||β|cos0=√a2+b2 fmin=|α||β|cosπ=−√a2+b2 bulunur.