Young Eşitsizliği. $p,q\in (1,\infty)$ ve her $x,y\in(0,\infty)$ için $\frac{x^p}{p}+\frac{y^q}{q}\geq xy$ oldugunu ispatlayınız.

2 beğenilme 0 beğenilmeme
189 kez görüntülendi

$\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1$ eşitliğini sağlayan her  $p,q\in (1,\infty)$ ve her $x,y(0,\infty)$  için


$\dfrac{x^p}{p}+\dfrac{y^q}{q}\geq x.y$   oldugunu ispatlayınız.











dipçe; 20-30 görüntülenme oluyor, lütfen tam cevap yazmanıza gerek yok en azından bir yol gösterici ipucu veya fikir verebilirsiniz , saygılar...

25, Nisan, 2016 Lisans Matematik kategorisinde Anil (7,670 puan) tarafından  soruldu
22, Aralık, 2016 Anil tarafından yeniden gösterildi

p=m+n/n q=m+n/m dönüşümü yazarak başlayabilirsin sonra ortalama kullanabilirsin

Teşekkür ederim.

2 Cevaplar

2 beğenilme 0 beğenilmeme

$$\frac1p+\frac1q=1$$ demek $$(p-1)(q-1)=1$$ demek. Bu da $$u=t^{p-1} \iff t=u^{q-1}$$ oldugunu verir. Kisacasi $t^{p-1}$ ve $u^{q-1}$ ters fonksiyonlar olurlar. Bu integraller toplaminin dikdortgenden fazla alan vercegini gozlemleyerek $$xy \le \int_0^x t^{p-1}dt+\int_0^y u^{q-1} du= \frac{x^p}{p}+\frac{y^q}{q}$$ olur.

Esitlik dikdortgen olustugunda saglanir. Bunun icin de $$x^{p-1}=y$$ olmali olur. 

25, Nisan, 2016 Sercan (23,218 puan) tarafından  cevaplandı
25, Nisan, 2016 Sercan tarafından düzenlendi

Teşekkür ederim.

1 beğenilme 0 beğenilmeme

$$p=\frac{m+n}{m}, q=\frac{m+n}{n}, x=a^(1/p), y=b^(1/q)$$ olsun $$\frac{a}{(m+n)/m}+\frac{b}{(m+n)/n}=\frac{am+bn}{(m+n)}\geq(a^m.b^n)^{1/(m+n)}=x.y \ A.O\geq G.O$$   not: soru aslında doğrudan ağırlıklı aritmetik ortalamanın ağırlıklı geometrik ortalamadan büyük olduğunun da kanıtıdır. Sorunun daha yaygın kanıtı ise Jensen ile

26, Nisan, 2016 yavuzkiremici (1,750 puan) tarafından  cevaplandı

Teşekkür ederim.

...