$16$, $1156$, $111556$, $11115556$, $\cdots$ sayilari her zaman tam kare midir?

Question

Gosteriniz: $n \ge 1$ tam sayisi icin soldan baslayarak ardiardina dizilen $n$ tane $1$,  $n-1$ tane $5$ ve $1$ tane $6$ ile olusturulan sayi her zaman tam karedir.

Answer 1

1111...555...6 2n basamaktan oluşan bir doğal sayı. Bu sayının basamak çözümlemesini yapalım:

1($10^{2n-1}$+$10^{2n-2}$+...+$10^{n}$)+5($10^{n-1}$+$10^{n-2}$+...+10)+6

İlk ifadeyi $10^n$,ikinci ifadeyi 10 parantezine alıp 1+$n$+$n^2$+...+$n^r$=$\frac{n^{r+1}-1}{n-1}$ formülünü uyguladığımız zaman;

[$10^n$($\frac{10^{n}-1}{9}$)+5.10($\frac{10^{n-1}-1}{9}$)] +6 elde edilir. 6 hariç parantezi 10/9 parantezinde yazalım :

$\frac{10}{9}$[$10^{n-1}(10^n-1)$+5($10^{n-1}-1)$]+6 olur. İçerdeki ifadeyi düzenleyip 10'u içeri dağıtalım:

$\frac{1}{9}$[$10^{2n}+4.10^{n}$ -50]+6 olur. $10^n$=a için ifade:

$\frac{(a+2)^2}{9}$ olur. Bu ifade de tam karedir.