Diziler icin neden L'hopital uygulayamiyoruz?

2 beğenilme 0 beğenilmeme
310 kez görüntülendi

Diziler icin neden L'hopital uygulayamiyoruz?

24, Nisan, 2016 Lisans Matematik kategorisinde Sercan (24,163 puan) tarafından  soruldu

tanım kümesi dogal sayılar oldugundan sürekli değildir dolayısıyla türevden bahsedemıyoruz.

ama l hospıtal derken nasıl kullanıcaz onu tam şey edemedim

Neden surekli degil?

Bazi yerlerde, dizilere L'hopital uygulayamayiz diye geciyor ya, nedeni tam olarak nedir? sorum bu.

Belki de uygulayabiliyoruz.

'belkide şurda bir L'hospital uygulayabileceğimiz dizi vardır '

Diziler için L'hospital derken? Yalnızca sayılabilir noktada tanımlı olduğundan, dizinin aldığı değerlerin grafiği sürekli olmaz. Sürekli değilse türev de alamayız.

L'Hospital Kuralının bir benzeri var.

http://matkafasi.com/2232/lim_-infty-right-textrm-infty-frac-sqrt-oldugunu-gosteriniz#a2245

sorusuna Yusuf Ünlü nün cevabına  bakabilirsiniz.

Kanıtı da:

https://matematikkoyu.org/e-kutuphane/ders-notlari/analiz\_1.pdf

da.

Getirmek istedigim yer tam da burasiydi.

Dizi, tanım kümesi doğal sayılar kümesi (hedef kümesi de boştan farklı herhangi bir küme) olan bir fonksiyondur ve her GERÇEL SAYI dizisi yani tanım kümesi doğal sayılar, hedef kümesi de gerçel sayılar kümesi olan her fonksiyon (kuralı ne olursa olsun) SÜREKLİDİR. 

Türev tanımını en genel anlamda şöyle verebiliriz:

$A\subseteq\mathbb{R}$ küme, $f:A\to\mathbb{R}$ fonksiyon ve $a\in A\cap D(A)$ olmak üzere

$$\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$ limiti (gerçel sayı olarak) mevcutsa $f$ fonksiyonu $a$ noktasında türevlenebilir denir ve limit değeri $f'(a)$ ile gösterilir. $f'(a)$ değerine $f$ fonksiyonunun $a$ noktasındaki türevi denir. 

Tanımdan da anlaşılacağı üzere bir noktada türevden bahsedebilmemiz için o noktanın fonksiyonun hem tanım kümesine hem de tanım kümesinin türev kümesine (yani yığılma noktalarının oluşturduğu kümeye) ait olması gerekiyor. Ancak bu koşul sağlanırsa fonksiyonun o noktada türevlenebilir olması veya türevlenebilir olmaması mevzu bahis edilir. Türeve ilişkin önemli teoremler ancak fonksiyonun tanım kümesi bir aralık olduğunda ortaya çıktığı için çoğu zaman türev tanımı verilirken fonksiyonun tanım kümesi bir aralık olsun denerek başlar.

Bu bilgiler ışığı altında tanım kümesi doğal sayılar kümesi olan bir fonksiyonu (yani diziyi) ele aldığımızda $$\mathbb{N}\cap D(\mathbb{N})=\mathbb{N}\cap\emptyset=\emptyset$$  olacağından fonksiyon için hiçbir noktada türev söz konusu edilmez. Dikkat edilirse türev vardır ya da yoktur demiyorum türev söz konusu edilmez diyorum.

Merhaba Murad hocam. Dizilerin tanım kümesi orta öğretim seviyesinde pozitif doğal sayılar kümesi olarak alınıyor. Ve yine orta öğretim seviyesinde doğal sayılar sıfırdan başlatılıyor.  Ancak akademik seviyede doğal sayıların sıfırı içermediği kabul edilmektedir. Bu bakımdan sizin yaptığınız dizi tanımı orta öğretim öğrencileri için kafa karışıklığına sebep olabilir. Bu bakımdan $\mathbb{Z^+}\rightarrow \mathbb{R}$ olan her fonksiyona bir dizi denir, şeklinde olması sanki daha  iyi olacaktır.

Siz her dizinin sürekli olduğunu iddia ediyorsunuz. Örneğin   $(a_n)=(n) $     dizinin $n=3$ 'deki sürekliliğini nasıl gösterebiliriz. Dizilerde sağ limit, sol limit kavramlarını nasıl kullanıyoruz.  

Sayın hocam dizilerde sağdan ve soldan limit söz konusu değildir. Bir fonksiyonun belirli bir noktasında sağdan (soldan) limitinden bahsedebilmemiz için o noktanın fonksiyonun tanım kümesinin sağdan (soldan) yığılma noktası olması gerekir. Bir noktanın bir kümenin sağdan (soldan) yığılma noktası olması ise şöyle tanımlanır: 

$A\subseteq\mathbb{R}$  ve  $a\in\mathbb{R}$  olmak üzere

$$a, A\text{'nın sağdan yığılma noktası}:\Leftrightarrow a\in D(A\cap (a,\infty))$$

$$a, A\text{'nın soldan yığılma noktası}:\Leftrightarrow a\in D(A\cap (-\infty,a)).$$

Tanımda geçen $$D(A\cap (a,\infty))$$ kümesi, $A\cap (a,\infty)$ kümesinin türev kümesidir yani $A\cap (a,\infty)$ kümesinin bütün yığılma noktalarının oluşturduğu kümedir.

Gerçel değişkenli ve gerçel değerli fonksiyonlar için sağdan (soldan) limit kavramları şöyle tanımlanır:

Tanım: $A\subseteq \mathbb{R},$ $f\in\mathbb{R}^A,$ $a\in D(A\cap (a,\infty))$ (yani $a,$ $A$ kümesinin SAĞDAN yığılma noktası) ve $L\in\mathbb{R}$ olmak üzere

$$\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=L$$

$$:\Leftrightarrow$$

$$(\forall \epsilon>0)(\exists \delta>0)(\forall x\in A)(a<x<a+\delta\Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon).$$

Not: Dikkat edilirse gerçel değişkenli ve gerçel değerli bir fonksiyon için belirli bir noktada  SAĞDAN limitten BAHSEDEBİLMEMİZ için o noktanın fonksiyonun tanım kümesinin SAĞDAN yığılma noktası olması gerekiyor. Aksi takdirde yani söz konusu nokta fonksiyonun tanım kümesinin bir SAĞDAN yığılma noktası değil ise SAĞDAN limitten BAHSEDEMEYİZ. Tıpkı bir fonksiyonun tanım kümesine ait olmayan noktalar için süreklilikten bahsedemediğimiz gibi.

Tanım: $A\subseteq \mathbb{R},$ $f\in\mathbb{R}^A,$ $a\in D(A\cap (-\infty,a))$ (yani $a,$ $A$ kümesinin SOLDAN yığılma noktası) ve $L\in\mathbb{R}$ olmak üzere

$$\lim\limits_{x\to a^-}f(x)=L$$

$$:\Leftrightarrow$$

$$(\forall \epsilon>0)(\exists \delta>0)(\forall x\in A)(a-\delta <x<a\Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon).$$

Not: Dikkat edilirse gerçel değişkenli ve gerçel değerli bir fonksiyon için belirli bir noktada SOLDAN limitten BAHSEDEBİLMEMİZ için o noktanın fonksiyonun tanım kümesinin SOLDAN yığılma noktası olması gerekiyor. Aksi takdirde yani söz konusu nokta fonksiyonun tanım kümesinin bir SOLDAN yığılma noktası değil ise SOLDAN limitten BAHSEDEMEYİZ. Tıpkı bir fonksiyonun tanım kümesine ait olmayan noktalar için süreklilikten bahsedemediğimiz gibi.


Bu bilgiler ışığı altında sorunuzu tekrar ele alalım: 

Fonksiyonunuzun tanım kümesi $\mathbb{N}.$ $$D(\mathbb{N}\cap (3,\infty))=D(\{4,5,6,\ldots\})=\emptyset$$ olduğundan $3$ noktasında sağdan limitten,

$$D(\mathbb{N}\cap (-\infty,3))=D(\{1,2\})=\emptyset$$ olduğundan $3$ noktasında soldan limitten BAHSEDEMEYİZ.

Şimdi gelelim bu fonksiyonun sürekli olduğunu nasıl göstereceğimize:

Süreklilik tanımı değil liselerde Türkiye'deki birçok üniversitede de bile YANLIŞ veriliyor. Buradaki linkte de yer alan sorumu sorma gerekçem de bu idi.  Yani 

"$A\subseteq \mathbb{R}, $ $f\in \mathbb{R}^A$ ve $a\in A$ olmak üzere eğer $f$ fonksiyonunun $a$ noktasındaki limiti, fonksiyonun o noktada aldığı  değere eşit ise $f$ fonksiyonuna $a$ noktasında süreklidir denir" 

şeklindeki tanım (!) eksik. Açıklama için yukarıdaki linki inceleyiniz.


Sizin sorunuz "$$f(x)=x$$ kuralı ile verilen $$f:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$$ fonksiyonu $$a=3(\in\mathbb{N})$$ noktasında sürekli midir?" sorusu ile aynı soru. Şimdi bu fonksiyonun $3$ noktasında sürekli olduğunu gösterelim. Bu fonksiyonun $3$ noktasında sürekli olduğunu göstermek için süreklilik tanımı gereği $$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x\in\mathbb{N})(|x-3|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(3)|<\epsilon)$$ önermesinin doğru olduğunu yani 

$$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)\forall x[x\in\mathbb{N}\Rightarrow (|x-3|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(3)|<\epsilon)]$$ önermesinin doğru olduğunu yani 

$$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)\forall x[(x\in\mathbb{N}\wedge |x-3|<\delta)\Rightarrow |f(x)-f(3)|<\epsilon]$$ önermesinin doğru olduğunu yani 

$$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)\forall x[(x\in\mathbb{N}\wedge x\in (3-\delta,3+\delta))\Rightarrow f(x)\in (f(3)-\epsilon,f(3)+\epsilon)]$$ önermesinin doğru olduğunu yani 

$$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)\forall x[x\in\mathbb{N}\cap (3-\delta,3+\delta)\Rightarrow f(x)\in (f(3)-\epsilon,f(3)+\epsilon)]$$ önermesinin doğru olduğunu yani

$$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)\underset{\mathbb{N}\cap (3-\delta,3+\delta)\subseteq f^{-1}[(f(3)-\epsilon,f(3)+\epsilon)]}{\underbrace{\forall x\left [x\in\mathbb{N}\cap (3-\delta,3+\delta)\Rightarrow x\in f^{-1}[(f(3)-\epsilon,f(3)+\epsilon)]\right ]}}$$ önermesinin doğru olduğunu yani

$$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(\mathbb{N}\cap (3-\delta,3+\delta)\subseteq f^{-1}[(f(3)-\epsilon,f(3)+\epsilon)])$$ önermesinin doğru olduğunu yani

$$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(f[\mathbb{N}\cap (3-\delta,3+\delta)]\subseteq (f(3)-\epsilon,f(3)+\epsilon))$$ önermesinin doğru olduğunu göstermeliyiz. Şimdi soru 

"Keyfi bir $\epsilon>0$ verildiğinde önermenin doğru olması için $\delta>0$ sayısını nasıl seçmeliyiz?"

sorusuna dönüştü. Önermeye biraz yoğunlaştığımızda keyfi bir $\epsilon>0$ verildiğinde $0<\delta\leq 1$ seçilirse söz konusu önermenin doğru olacağını görmenin zor olmadığını anlarız. Şöyle ki: Keyfi bir $\epsilon>0$ verildiğinde $0<\delta\leq 1$ seçilirse

$$f[\mathbb{N}\cap (3-\delta,3+\delta)]=f[\{3\}]=\{f(3)\}=\{3\}\subseteq (3-\epsilon,3+\epsilon)=(f(3)-\epsilon,f(3)+\epsilon)$$ koşulu sağlanır. Demek ki 

$$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(f[\mathbb{N}\cap (3-\delta,3+\delta)]\subseteq (f(3)-\epsilon,f(3)+\epsilon))$$ önermesi doğru yani $f$ fonksiyonu $3$ noktasında SÜREKLİDİR.

...