İntegral eşitsizliği . $2\leq\displaystyle\int_0^1\dfrac{(1+a)^{1+a}}{a^a}\leq3$

Question

$2\leq\displaystyle\int_0^1\dfrac{(1+a)^{1+a}}{a^a}.da\leq3$

bu eşitsizliği ispatlayınız.

Eforum;  

$(1+a)^{1+a}=(1+a)(1+a)^a=(1+a)\left[a^a+\dbinom{a}{1}a^{a-1}+\dbinom{a}{2}a^{a-2}+\dbinom{a}{3}.a^{a-3}+.......+\dbinom{a}{a-2}.a^{2}+\dbinom{a}{a-1}.a+1\right]$


hertarafı $a^a$ ya böldüm



$\dfrac{(1+a)^{1+a}}{a^a}=(1+a)(1+a)^a=$

$(1+a)\left[\dfrac{a^a+\dbinom{a}{1}a^{a-1}+\dbinom{a}{2}a^{a-2}+\dbinom{a}{3}.a^{a-3}+.......+\dbinom{a}{a-2}.a^{2}+\dbinom{a}{a-1}.a+1}{a^a}\right]$






$\dfrac{(1+a)^{1+a}}{a^a}=$

$(1+a).\left[1+1+\dfrac{a^a-a^{a-1}}{2!.a^a}+\dfrac{a^{a}-3.a^{a-1}+2a^{a-2}}{3!.a^a}+\dfrac{a.a.(a-1)(a-2)(a-3)}{4!.a^a}+............+\dfrac{1}{a^a}\right]$


veya


$\dfrac{(1+a)^{1+a}}{a^a}=\dfrac{(1+a)}{a^a}(1+a)^a$  olur

genede biryerlere varamadım .

Comments

2den büyük oldugunu ispatladım ama 3 den küçük oldugunu nasıl ispatlıyacagım

---

$(1+x)^{1/x} \le 2$ ve  $\int_0^1(1+x)d x=3/2$

---

bu yazdıgınızı nasıl kullanıcam hıçbır fıkır gelmıyor şuan

---

$[0,1]$ araliginda artan oldugunu gosterirsen $(1+\frac1a)^a$'nin artan oldugunu goster. Bu da ust sinir olarak $(1+\frac11)^1=2$'yi verir.

---

neden [0,1] ve nasıl ust sınır 2 çıkıyor sızın dayanak noktanızı soylersenız yapabılırım, yanı bu fıkırlerı nasıl, nereden akıl edıyorsunuz?

---

Integral 0 ile 1 arasinda...  $$\frac{(1+a)^{1+a}}{a^a}=(1+a)\left(1+\frac{1}{a}\right)^a$$

---

evet hocam , ben belirsiz yoldan çözüp sonra 0 ve 1 diye koyup çözmeye alıştığımdan oldu , çok teşekkürler . Bundan hareketle çözdük sayılır , ve baya basitmiş bu problem:)

---

hocam birde artanlığını ıspatlamak için değerler versem doğru olsa sonra 

k için doğruysa k+1 için dogru oldugunu ıspatlarsam artanlıgını ispatlamam için yeter ve gerek koşul mudur?

---

$k$ nedir? Tume varim ile ispat yaparsan sayilabilirlik lazim ama aralik sayilamaz. Hem bir aslangic noktasi icin de dogrulugunu gostermen gerekir, ki tumevarm basamagi ise yarasin.

---

türev le ispatlayacagız ozaman artanlığını

---

Evet.