İntegral

1 beğenilme 0 beğenilmeme
44 kez görüntülendi

$\int \dfrac {dx} {1+x^{4}}$

16, Nisan, 2016 Orta Öğretim Matematik kategorisinde lordamedon (96 puan) tarafından  soruldu
16, Nisan, 2016 wertten tarafından yeniden kategorilendirildi

siz nasıl düşündünüz?

bir cevap yazıyorum.

3 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

İpucu: $$\int\frac{dx}{1+x^4}=\int\frac{dx}{1+2x^2+x^4-2x^2}=\int\frac{dx}{(1+x^2)^2-(x\sqrt{2})^2}=\int\frac{dx}{(1-x\sqrt{2}+x^2)(1+x\sqrt{2}+x^2)}$$

$$=$$

$$\int\left(\frac{Ax+B}{1-x\sqrt{2}+x^2}+\frac{Cx+D}{1+x\sqrt{2}+x^2}\right)dx$$

16, Nisan, 2016 murad.ozkoc (8,693 puan) tarafından  cevaplandı

hocam daha kısası yokmu burdan yaptım ama kollarım koptu.

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$(Ax^2+Bx+C)(Dx^2+Ex+F)=1+0x+0x^2+0x^3+x^4$

düzenlersek

$(AB)x^4+(AE+BD)x^3+(AF+BE+CD)x^2+(BF+CE)x+(CF)=1+0x+0x^2+0x^3+x^4$ olur


tek tek ve sıkıcı birşekilde  

$A,B,C,D,E,F$ yi tek tek bulursun 


veya 

$1+x^4+2x^2-2x^2$ yapıp

$(x^2+1)^2-2x^2$ 2kare farkından


$(x^2+1-\sqrt2x)(x^2+1+\sqrt2x)$


paydalara ayırmayı kullanarak

$\frac{1}{1+x^4}=\frac{Ax+B}{(x^2+1-\sqrt2x)}+\frac{Cx+D}{(x^2+1+\sqrt2x)}$

yukardakinden daha kısa olarak

$\frac{1}{1+x^4}=\frac{Ax+B}{(x^2+1-\sqrt2x)}+\frac{Cx+D}{(x^2+1+\sqrt2x)}$


$(A+C)x^3+(B+D+\sqrt2A-\sqrt2C)x^2+(A+C+\sqrt2B-\sqrt2C)x+B+D=1$


buradan

$A=\frac{-\sqrt2}{4}=\frac{-1}{2\sqrt2}$


$C=\frac{\sqrt2}{4}=\frac{1}{2\sqrt2}$


$B=D=\frac{1}{2}$  gelir


$\dfrac{1}{1+x^4}=\dfrac{Ax+B}{(x^2+1-\sqrt2x)}+\dfrac{Cx+D}{(x^2+1+\sqrt2x)}$ yerlerine koyarsak


$\dfrac{1}{1+x^4}=\dfrac{\frac{-\sqrt2}{4}x+\frac{1}{2}}{(x^2+1-\sqrt2x)}+\dfrac{\frac{\sqrt2}{4}x+\frac{1}{2}}{(x^2+1+\sqrt2x)}$



$\dfrac{1}{1+x^4}=\frac{\sqrt2}{8}.\dfrac{-2x+2\sqrt2}{(x^2+1-\sqrt2x)}+\frac{\sqrt2}{8}.\dfrac{2x+2\sqrt2}{(x^2+1+\sqrt2x)}$  heh şimdi entegrasyon uygulayabılırız.



$\int \dfrac{dx}{1+x^4}=\frac{\sqrt2}{8}.\int \left[\dfrac{2x+\sqrt2+\sqrt2}{(x^2+1-\sqrt2x)}\right]dx-\frac{\sqrt2}{8}.\int\left[\dfrac{2x-\sqrt2-\sqrt2}{(x^2+1+\sqrt2x)}\right]dx$  



Paydadaki ifadenin türevinin yukardakine benzemesi için her iki entegrasyondaki $2\sqrt2$ lerden birer $\sqrt2$ eksiltelim



$\int \dfrac{dx}{1+x^4}=\frac{\sqrt2}{8}.\int \left[\dfrac{2x+\sqrt2}{(x^2+1-\sqrt2x)}\right]dx-\frac{\sqrt2}{8}.\int\left[\dfrac{2x-\sqrt2}{(x^2+1+\sqrt2x)}\right]dx+\dfrac{1}{4}.\int\dfrac{dx}{(x^2+1+\sqrt2x)}+\dfrac{1}{4}.\int\dfrac{dx}{(x^2+1-\sqrt2x)}$  


dikkat ederseniz $\frac{1}{4}$li ifadeler arctan ın türevine çok benziyor

$\frac{1}{4}$ ifadeyi 2 ile çarpıp 2ye bölelim;

$\int \dfrac{dx}{1+x^4}=\frac{\sqrt2}{8}.\left[\int \dfrac{2x+\sqrt2}{(x^2+1-\sqrt2x)}dx-\int\dfrac{2x-\sqrt2}{(x^2+1+\sqrt2x)}dx\right]+\dfrac{\sqrt2}{4}.\left[\int\dfrac{\sqrt2}{(\sqrt2x+1)^2+1}dx+\int\dfrac{\sqrt2}{(\sqrt2x-1)^2+1}dx\right]$ 


ve 

$\int \dfrac{dx}{1+x^4}=\frac{\sqrt2}{8}ln(x^2+x\sqrt2+1)-\frac{\sqrt2}{8}ln(x^2-x\sqrt2+1)+\frac{\sqrt2}{4}arctan(\sqrt2x+1)+\frac{\sqrt2}{4}arctan(\sqrt2x-1)$
 

gelir.

16, Nisan, 2016 Anil (7,670 puan) tarafından  cevaplandı
2 beğenilme 0 beğenilmeme

Baska benzeri bir yontem olarak su var:

$$\int\frac{1}{x^4+1}\ dx  =\frac{1}{2}\int\frac{2}{1+x^{4}}\ dx\ =\frac{1}{2}\int\frac{(1-x^{2})+(1+x^{2})}{1+x^{4}}\ dx\ $$$$=\frac{1}{2}\left(\int\frac{1-x^2}{1+x^{4}}\ dx+\int\frac{1+x^{2}}{1+x^{4}}\ dx\right)=\frac{1}{2}\left(\int\frac{1-\frac{1}{x^2}}{x^2+\frac{1}{x^2}}\, dx+\int\frac{1+\frac{1}{x^2}}{x^2+\frac{1}{x^2}}\, dx\right)$$$$=\frac{1}{2}\left(\int\frac{1-\frac{1}{x^2}}{\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2}\, dx+\int\frac{1+\frac{1}{x^2}}{\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+2}\, dx\right) $$$$=\frac{1}{2}\left(\int\frac{d\left(x+\frac{1}{x}\right)}{\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2}+\int\frac{d\left(x-\frac{1}{x}\right)}{\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+2}\right)$$$$=\frac{\arctan\left(\frac{x^2-1}{x\sqrt{2}}\right)}{2\sqrt{2}}-{\sqrt{2}}\ln\left(\frac{x^2+\sqrt{2}x+1}{x^2-\sqrt{2}x+1}\right)+c$$

16, Nisan, 2016 Sercan (23,218 puan) tarafından  cevaplandı
16, Nisan, 2016 Sercan tarafından düzenlendi

aynını  paylar için $x^3+1$   $-(x^3-1)$  için yaptım ama biyerlere gidemedim. güzel çözüm

$\frac{1}{1+x^6}$ icin mi?

tek bır büyük "$ln$" bulmak istiyordum aşşagıda 4.dereceden var ya, yukarıdakını 3. dereceden düzenleyıp ln gibi birşeyler buluyum dedim.

birde kısmı ıntegrasyon uygulamak var, 2kere kısmı alınca alt üst dereceler eşitleniyor ama çok karışıyor.

Kup ile yine karisik gelir diye tahmin ediyorum...

...