Birinci Sayılabilme Aksiyomu

Question

Reel sayılardaki her $x$ elemanı için $G(x)=\left\{\left(x−\frac1n, x+\frac1n\right) : n\in\mathbb{N}\right\}$ ailesi gerçel eksen üzerindeki salt topolojiye göre $x$ noktasının sayılabilir bir komşuluklar tabanı olduğundan bu topolojik uzay $1.$ sayılabilme aksiyomunu sağlar. Gösteriniz.

Answer 1

$\mathbb{R}$ üzerinde salt topoloji tanımlansın. Her $x\in \mathbb{R}$ için $G(x)= \{ (x-\frac{1}{n},x+ \frac{1}{n}) : n\in \mathbb{N} \}= \{ B(x,\frac{1}{n}) : n\in \mathbb{N} \}$   ($B(x,\frac{1}{n})$: $x$ merkezli $\frac{1}{n}$ yarıçaplı açık yuvar.) ailesinin $x$ noktasının bir komşuluk tabanı olduğunu görelim. $\vartheta_x$ , $x$ noktasının komşuluklar ailesi olsun. O halde $G(x)\subseteq \vartheta_x$ tir. $V \in \vartheta_x$ alalım. Bu durumda $\exists r>0$ öyleki $B(x,r) \subseteq V$ dir. $0< \frac{1}{N}<r$  olacak şekilde en az bir tane $N\in \mathbb{N}$ sayısı vardır.  $B(x,\frac{1}{N})\subseteq B(x,r)\subseteq V$ olduğundan $W=B(x,\frac{1}{N})$ alınırsa $W\in G(x)$ ve $W\subseteq V$ olur. O halde $G(x)$ , $x$ in bir komşuluklar tabanıdır ve sayılabilirdir. Bu  her $x\in \mathbb{R}$ için sağlandığından birinci sayılabilirlik aksiyomunu sağlar.

(Not: Bir topolojik uzayın her noktasında bir sayılabilir komşuluk tabanı varsa bu uzaya birinci sayılabilirdir denir.)

Comments

Teşekkürler.