Küp Boyama Sorusu Kaç Farklı Şekilde?

Question

Verilen altı değişik rengi kullanarak bir kübün her yüzünü farklı bir renge boyuyoruz.Kübün istenildiği kadar ve istenen istikametlerde döndürülmesiyle biri diğerinden elde edilen iki boyamayı aynı kabul ederek , bu boyama işlemi kaç değişik biçimde yapılabilinir?

Comments

Soru lisans kategorisinde değerlendirilirse grup teoride çok hoş bi çözümü var. :)

---

çözün hocam çok iyi olur.

---

Ben cevapladım ama Ece hocamın cevabını merak ettim :)

---

estağfurullah :) ben de öğrenciyim daha..

---

Bu soruda emegi gecen herkes gibi :)

Answer 1

Öncelikle $6$ farklı renkle $6$ yüz boyayacağımızdan $P(6,6)=720$ boyama yapabiliriz. Fakat aynı şeklin rotasyonları sayılmadığından bir şeklin en fazla kaç rotasyonu olabileceğine bakalım. Küpü yerleştirebileceğimiz eksenler $+x,-x,+y,-y,+z-z$ eksenleri olsun. Öncelikle bir yüz belirleyelim ve onu herhangi $6$ eksenden birine yerleştirelim. Ardından belirlediğimiz eksen etrafında $90^o$'lik döndürmeler yaparak $4$ rotasyon yapabiliriz. Yani $6.4=24$ farklı rotasyon vardır. Biz bunlardan sadece $1$ tanesini alacağımıza göre $\frac{720}{24}=30$ farklı boyama yapılabilir.

Comments

C ve Permütasyonlardaki en sevdiğim çözüm yollarından.Bravo!

---

Anıl soruyu mümkünse lisansa alabilir misin grup teorideki çözümü (muhtemelen anlayamayacak olsam da) merak ettim :) 

Answer 2

Önce bazı tanım ve teoremleri ifade etmek lazım. 

$\underline{\textbf{TANIM:}}$ $G$ bir grup ve $X$, boş olmayan bir küme olsun. $G \times X$  ten $X$ e aşağıdaki iki koşulu sağlayan bir

                     $*~:~G\times  X~\longrightarrow ~X$   ,  $(g,x)\longrightarrow g*x$

fonksiyonu varsa, bu fonksiyona $G$ nin $X$ üzerine bir etkisi denir:

                    $\textbf{(i)}$ Her $x\in X$ için $e*x=x$ tir.

                    $\textbf{(ii)}$ Her $x\in X$ ve  $g_1,g_2\in G$ için  $(g_1g_2)*x=g_1*(g_2*x)$ tir.

Eğer $G$ nin $X$ üzerine bir etkisi varsa, bu takdirde, $G$ grubu $X$ üzerine etki eder veya $X$, $*$ etkisi ile bir $G$-kümesidir denir.

$\underline{\textbf{TANIM:}}$ $G$ bir grup, $X$ bir $G$-kümesi ise, $g\in G$ ve $x\in X$ için

                    $X_g=\{ x\in X:g*x=x \}$  ,  $G_x=\{ g\in G:g*x=x \}$

tanımlanır. $X_g$ ye $X$ in g altındaki durağan altkümesi, $G_x$ e de $x$ in $G$ içindeki sabitleyicisi denir.

$\underline{\textbf{TEOREM:}}$ $G$ bir grup, $X$ bir $G$-kümesi olsun.  $x_1,x_2\in X$ için 

                        $'' x_1\sim x_2 \Leftrightarrow ~öyle~bir~g\in G~vardır~ki~x_2=gx_1~ ''$

ile tanımlanan bağıntı bir denklik bağıntısıdır.

$\underline{\textbf{TANIM:}}$ Bir önceki teoremde tanımlanan denklik bağıntısı ile ortaya çıkan denklik sınıflarından her birine bir yörünge denir. $x\in X$ in temsil ettiği yörüngeye $x$ in yörüngesi denir. $Gx$ ile gösterilir: $Gx=\{ gx:g\in G \}$

$\underline{\textbf{TEOREM(Burnside):}}$ $G$ bir sonlu grup, $X$ bir sonlu $G$-kümesi ve $X$ içinde $G$ ye göre yörüngelerin sayısı $r$ olsun. Bu takdirde,

                                         $r=\frac{1}{|G|}\sum\limits_{g\in G}|X_g|$

dir.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Şimdi soruya dönelim.

$G:$ Kübün dönmeler grubu olsun.

$X:$ Kübün mümkün olan tüm boyanışlarının kümesi olsun.

$G$ kümesi $X$ üzerine etki etsin. ($X$ in bir $G$-kümesi olduğu açık)

$x,y\in X$ ($x$ ve $y$ iki boyanış) olmak üzere,  

         $x$ ve $y$ aynı $\Leftrightarrow \exists g\in G$ öyle ki $g*x=y \Leftrightarrow$ $x$ ve $y$ aynı yörüngede $\Leftrightarrow Gx=Gy$

         $x$ ve $y$ farklı $\Leftrightarrow Gx \neq Gy$

Farklı küplerin sayısı, bu grup etkisine göre yörüngelerin sayısına eşittir. 

$|G|=24$ ,   $|X_e|=\{ x\in X: e*x=x \}=|X|=6!=720$  ,  $\forall g\in G\setminus \{e\}$ için $|X_g|=0$ 

O halde yörünge sayısı (dolayısıyla farklı boyanış sayısı):

$r=\frac{1}{|G|}\sum\limits_{g\in G}|X_g|=\frac{1}{24}|X_e|=\frac{720}{24}=30$

Comments

çeşitlendirdiğiniz ve başka bir yöntem gösterdiğiniz için teşekkürler.