2 tane cevabı var.
1.CEVAP_
1a+1b+1c=1 ise
hertarafı a ile çarpalım
a.(1a+1b+1c)=a.1
ab+ac=a−1 olur
bunu c ve b için de uygularsak
ba+bc=b−1
ca+cb=c−1
---------------------------------------------
A.O.≥G.O. dan
ab+ac≥2a.√1bc
ba+bc≥2b.√1ac
cb+ca≥2c.√1ab
Yani
a−1≥2a.√1bc
b−1≥2b.√1ac
c−1≥2c.√1ab
yani
(a−1)(b−1)(c−1)≥23a.b.c√ab.ac.bc
olur ispatlanır ◻
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2.CEVAP_
1a+1b+1c=1 oldugundan
abc=ab+ac+bc gelir
(a−1)(b−1)(c−1)=abc+(a+b+c)−(ab+bc+ac)−1 gelir yukardaki ifadeyi kullanarak
a+b+c−1≥8⟶a+b+c≥9 ifadesini kanıtlamamız gerektiği çıkar
(a+b+c)≥3.√a.b.c olur
1a+1b+1c≥3.√1a.b.c
taraf tarafa çarparsak
(1a+1b+1c)(a+b+c)≥3.√a.b.c.3.√1a.b.c
1a+1b+1c=1 oldugundan
1.(a+b+c)≥9.1
ispatlanmış olur ◻