$a,b,c \in \mathbb{R^+}$ $(a-1)(b-1)(c-1)\geq 8$ ispat

Question

$a,b,c\in \mathbb{R^+}$


$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$

veriliyor buna göre

$(a-1)(b-1)(c-1)\geq 8$  bu eşitsizliği kanıtlayınız.

Answer 1

$a+b+c=p,\ ab+ac+bc=q,\ abc=r$ olsun $$(a-1)(b-1)(c-1)=p-q+r-1\ olur$$   $1/a+1/b+1/c=1\ ise\ q=r$ ve $p\geq9 $ kanıtı da  $A.O\geq H.O$ ya da C.S.B ile dolayısı ile verilen eşitsizlik 8 den büyük eşittir

Comments

CSB den kasıt ne hocam? cahilliğimi bağışlayın:)

---

Cauchy-Schwarz-Bunyakovski eşitsizliği

---

cevap için teşekkürler ama ben HO$\leq$ AO yaparak bulamadım .Ancak AO ve GO arasında ilişki kurarak cevaba erişilebiliyor.(mse de de öyle yapmışlar)

---

$(a+b+c/3)\ge3/(1/a+1/b+1/c)$ yani $a+b+c\ge9$.

---

aaaa doğru aptallaşmışım  iyice, H.O. nedemek oldugunu bile yazmamışım. teşekkürler.

Answer 2

2 tane cevabı var.

$\underline{1.CEVAP}$

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$ ise

hertarafı a ile çarpalım


$a.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=a.1$


$\frac{a}{b}+\frac{a}{c}=a-1$  olur

bunu c ve b için de uygularsak

$\frac{b}{a}+\frac{b}{c}=b-1$

$\frac{c}{a}+\frac{c}{b}=c-1$

---------------------------------------------

$A.O.\geq G.O.$ dan


$\frac{a}{b}+\frac{a}{c}\geq 2a.\sqrt{\frac{1}{bc}}$

$\frac{b}{a}+\frac{b}{c}\geq 2b.\sqrt{\frac{1}{ac}}$

$\frac{c}{b}+\frac{c}{a}\geq 2c.\sqrt{\frac{1}{ab}}$

Yani

$a-1\geq 2a.\sqrt{\frac{1}{bc}}$

$b-1\geq 2b.\sqrt{\frac{1}{ac}}$

$c-1\geq 2c.\sqrt{\frac{1}{ab}}$

yani

$(a-1)(b-1)(c-1)\geq 2^3\frac{a.b.c}{\sqrt{ab.ac.bc}}$

olur ispatlanır $\Box$

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

$\underline{2.CEVAP}$

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$  oldugundan

$abc=ab+ac+bc$ gelir

$(a-1)(b-1)(c-1)=abc+(a+b+c)-(ab+bc+ac)-1$ gelir yukardaki ifadeyi kullanarak



$a+b+c-1\geq 8$$\longrightarrow$$a+b+c\geq 9$ ifadesini kanıtlamamız gerektiği çıkar

$(a+b+c)\geq 3.\sqrt{a.b.c}$ olur

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 3.\sqrt{\frac{1}{a.b.c}}$

taraf tarafa çarparsak

$(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(a+b+c)\geq 3.\sqrt{a.b.c}.3.\sqrt{\frac{1}{a.b.c}}$

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$ oldugundan

$1.(a+b+c)\geq 9.1$

ispatlanmış olur $\Box$