Noktaların kordinatlarını belirlemek

1 beğenilme 0 beğenilmeme
74 kez görüntülendi
n-boyutlu uzayda bir noktanın bulunduğu yeri kesin olarak bulmak için en az kaç çember çizmek gereklidir?
9, Nisan, 2015 Orta Öğretim Matematik kategorisinde Cagan Ozdemir (669 puan) tarafından  soruldu
9, Nisan, 2015 Cagan Ozdemir tarafından düzenlendi

Cember cizerek koordinatlar nasil bulunuyor?

Mesela 2 boyutta 3 çember çizerek bir nokta belirleyebiliriz. İkisi iki noktada kesişir, diğeri de bu ikisinin kesiştiği bir noktadan geçerse nokta sabitlenmiş olur. 3 boyutta 4 çemberle bir nokta sabitlenebiliyor sanıyorum. Bir sanı: n boyutlu uzayda bir noktayı belirlemek için n+1 çember gerekli ve yeterli midir?

Sanıda küçük bir hata var. Bu yüzden doğru değil. $\mathbb{R}^2$'de bir tek noktayı belirlemek için 3 çember gerekli değil. 2 çemberle de halledebiliyoruz: 2 çember, istenen noktada birbirlerine teğet olsun. Bu hata minik ama önemli. Aşağıdaki cevabımdaki ana kavramı bu çünkü.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

$M$ ve $N$, $\mathbb{R}^k$'de türevli iki manifold olsun ve boyutları sırasıyla $m$ ve $n$ olsun. Örnek: Çember ($S^1\subset\mathbb{R}^2$) ve genelde $k$ boyutlu küre ($S^k\subset\mathbb{R}^{k+1}$, $k\geq 0$) türevli manifoldlardır.

Türevli topolojinin temel teoremlerinden biri der ki, eğer $M$ ve $N$ birbirlerini kesip geçiyorsa (kesiştikleri noktalarda birbirlerine transverse iseler) o zaman $K=M\cap N$ de $\mathbb{R}^k$'de türevli bir manifolddur. Üstelik, $m+n\geq k$ ise $K$'nin boyutu $m+n-k$'dir.
Eğer $m+n < k$ ise $K$ boş kümedir; yani, toplam boyutları tam boyuta erişemeyen iki manifoldun birbirlerini kesip geçmeleri ancak kesişimleri boş iken olasıdır.

Kesip geçmenin tanımı
. $x\in M\cap N\neq \emptyset$ olsun. Eğer $M$ ve $N$'nin $x$'teki teğet uzaylarının direkt toplamı, $x$'teki tüm vektörlerin oluşturduğu uzaya eşitse, $M$ ve $N$ $x$'te birbirlerini kesip geçiyor diyoruz.

Soruyu düzeltmek. $\mathbb{R}^k$'de tek bir nokta belirtmek için 2 çember yeterli (o noktada birbirine teğet iki çember alın). Öyleyse bu haliyle soru, ardındaki geometrik sezgiyi yansıtmıyor. Soruyu şöyle değiştirmeyi öneriyorum ve bunu çözüyorum: $\mathbb{R}^{k+1}$'de  bir noktanın bulunduğu yeri kesin olarak bulmak için, birbirini kesip geçme koşuluyla kaç adet  $S^k$ gereklidir?

Sorunun çözümü. Birbirini kesip geçen bir $S^k$ çifti, $k-1$ boyutlu bir manifoldda kesişirler. Hatta topolojik olarak kesişim $S^{k-1}$'dir. Kesişimi $S^k$ ile kesiştirip aynı mantığı tekrar  tekrar uygulayarak, $k$'inci adımda 0 boyutlu bir kesişim elde ederiz ki bu da topolojik olarak $S^0$'dır; yani 2 noktadan oluşan bir kümedir. Tek noktaya indirmek için bir küre daha gerekir.


12, Nisan, 2015 fritoz (57 puan) tarafından  cevaplandı
13, Nisan, 2015 Cagan Ozdemir tarafından seçilmiş
...