$\mathbb{R}^3$ te uzaklık kavramı

Question

$a$ = $(x,y,z)$ ve $a_1$ = $(x_1 , y_1 , z_1)$,  $\mathbb{R}^3$ te iki nokta olsun. $d(a, a_1) = ?$ Daha genel  olarak $\mathbb{R}^n$ de mesafe? 

Answer 1

$\mathbb{R}^n$'de birçok uzaklık fonksiyonu tanımlanabilir. Bunlardan bazıları şunlardır:

$x=(x_1,x_2,...,x_n)$ ve $y=(y_1,y_2,...,y_n)$ olmak üzere 

$$d_1(x,y)=[(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+...+(x_n-y_n)^2]^{\frac{1}{2}}$$ 

$$d_2(x,y)=\mid x_1-y_1\mid +\mid x_2-y_2\mid +...+ \mid x_n-y_n \mid$$

$$d_3(x,y)=max\{\mid x_1-y_1\mid , \mid x_2-y_2\mid ,..., \mid x_n-y_n \mid \}$$

ve daha yüzlercesi.

Comments

Metrik uzayın koşullarını sağladığı sürece uzaklık fonksiyonu tanımlayabiliyoruz sanırım?

---

metrik zaten uzaklik fonksiyonu uzerine dayali degil mi? yani metrik kosulunu saglamasi demek icin ilk once elimizde bir uzaklik fonksiyonu diyebilecegimiz bir fonksiyonun olmasi gerekir. (konuya hakim olmadigim icin iddiali konusmak istemiyorum ama baska tanimi yokur herhalde metrik'in)

---

Metrik uzaydan önce metrik vardır zaten. "Metrik uzayın koşullarını..." yerine "Metrik olma şartlarını sağladığı sürece" demek istediniz sanırım Cagan Ozdemir.

********************************************************************

Metrik ile uzaklık fonksiyonu farklı şeyler mi? Hayır! 

"Uzaklık fonksiyonu diyebileceğimiz" derken "metrik olmaya aday" kastediliyorsa problem yok Sercan.

Metrik ile metrik uzayı kastediyorsanız da problem yok, ifâde tutarlı. 

Genel olarak Öklid uzayında "uzunluk" derken "doğal metrik" akla gelmekte (yukarıdaki ilk metrik).

---

Haklısınız, ben de konuya çok hakim değilim. Düzeltme için teşekkürler.