Süreklilik ile ilgili bir soru

1 beğenilme 0 beğenilmeme
1,427 kez görüntülendi

Sadece tek bir noktada sürekli olan fonksiyon var mıdır? 


11, Şubat, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Cenk Turgay (207 puan) tarafından  soruldu
11, Şubat, 2015 Cenk Turgay tarafından düzenlendi

2 Cevaplar

3 beğenilme 0 beğenilmeme

$f$ fonksiyonu $x$ rasyonel ise $f(x)=x$,  $x$ irrasyonel ise $f(x)=0$ olarak tanımlanırsa $f$ sadece $x=0$ için sürekli olur.

11, Şubat, 2015 UnluYusuf (530 puan) tarafından  cevaplandı

Yusuf hocam $f(0)=0$ olduğundan $\forall \epsilon >0$ için $B(0,\epsilon)$ açığının ters görüntüsü 

$f^{-1}(B(0,\epsilon))=? $  açık olur mu

$\epsilon >0$ ne olursa olsun, $A$,  $B(0, \epsilon)$  daki rasyonel sayıları göstermek üzere $f^{-1}(B(0, \epsilon)) = \left\{ 0\right\} \cup A=A$ dır. O halde cevap hayırdır. Hem neden $f^{-1}(B(0, \epsilon)) $ kümesinin açık olmasını bekliyorsun?

Sürekli olması için açık olması gerekmez mi hocam

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Her analiz ya da topoloji kitabı bir noktada sürekliliği,sözcükler ayni olamasa bile kavram ayni kalmak üzere, şöyle tanımlar : 

 $X$, $Y$ iki topolojik uzay, $f:X\rightarrow Y$ bir fonsiyon ve $x_{0}\in X$ olsun. $f\left( x_{0}\right) $ ın $Y$ deki her $V$ açık komşuluğu için $x_{0}$'ın $f\left( W\right) \subset
V$ olacak şekilde bir açık $W$ komşuluğu bulunabiliyorsa, $f$ fonksiyonuna $x_{0}$ noktasında sürekli denir.

Verilen örneğin de kanıtladığı gibi, bu tanımdan
hareketle, $f$ fonksiyonu $x_{0}$ noktasında sürekli olsa bile,  $
f\left( x_{0}\right) $ ın $Y$ deki $V$ gibi bir açık komşuluğu için  $f^{-1}\left( V\right) $ nin açık olduğunu kanılayamazsınız.

Senin bana son soruyu sormana neden olan teorem şöyle diyor : $X$, $Y$ iki topolojik uzay, $f:X\rightarrow Y$ bir fonksiyon. $f$ nin $X$ uzayının HER NOKTASINDA sürekli olması için gerek ve koşul $Y$ nin açık her $V$ alt kümesi için  $f^{-1}\left(
V\right) $ açık olmasıdır.

Dikkatinden kaçmaması için "HER NOKTASINDA" sözcüklerini büyük yazdım.

15, Şubat, 2015 UnluYusuf (530 puan) tarafından  cevaplandı
16, Şubat, 2015 UnluYusuf tarafından düzenlendi

Çok iyi anladım hocam. Teşekür ederim açıklamanız için


Yaptığınız tanıma göre $x_0=0$ olmaktadır. Peki $f(x_0)$  ın $Y$'deki her $V$ açık komşuluğu için   $ f(W) \subset V$ olacak şekilde bir açık $W$ komşuluğu olduğundan nasıl emin olduk? Ayrıca $x_0$ ın her açık komşuluğu rasyonel sayılar da içermez mi? Belki de hiç irrasyonel sayı içermiyordur? Bu durumlarda sürekliliğini incelediğimiz noktanın ve görüntüsünün nasıl bir sayı ile eşlendiği önemsiz mi? 

$\mathbb{R}$ nin herhangi bir $V$ alt kümesi için, $0\in V$ ise $f(V)\subset V$ olur.

(elbette cevaptaki $f$ için)

...