$$p^q -q^p \equiv -q \mod p$$ ve $$p+q \equiv q \mod p.$$Demek ki $$p \mid (q -(-q))=2q$$ olmali. Buradan $p=2$ olmali ya da $p=q$ olmali gelir. $p=q$ olursa $2p=0$ olur, yani olmaz.
$p=2$ olursa da $$2^q-q^2=q+2$$ olur.
Ayrica $2^x-x^2-x-2$ de $x\ge0$ icin azalan bir fonksiyon. Bunu gormek icin turev kullanabiliriz. Fakat ussellerin (belirli bir yerden sonra polinomlardan buyuk olacagi da bilindik).
Neyse bu bize diyor ki, bunun bir adet cozumu olabilir. Cunku cozumden sonra da surekli azalacagindan negatfie iner.
Bu cozumun $5$ oldugunu gormek zor degil, gormek de matematiksel sayilir bence makul ise tabi. Goremezsek teker teker sai deniyecegiz artik. Bunu cozmek o kadar da kolay degil. (Bilen varsa yorular acik).
Bu da bize tek cozumun $(2,5)$ oldugunu soyler.