0 ile 1 arasındaki herhangi reel sayının sonsuza giden kuvvet serisi formülünün ispatı.

0 beğenilme 0 beğenilmeme
116 kez görüntülendi

$n\in\mathbb{R}$    ve  $1>n>0$   olsun;



$1+n+n^2+n^3+n^4+......+n^k+........=\frac{1}{1-n}$ ispatlayalım



dipçe:Belirli bir zamanda cevap gelmez ise ben yazıcağım .

7, Nisan, 2016 Lisans Matematik kategorisinde Anil (7,732 puan) tarafından  soruldu

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

Bu soruda $x \ne 1$ icin $$1+x+x^2+\cdots+x^n=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$$ oldugunu gostermistik. $|x|<1$ icin $$\lim_{n\to \infty} x^{n+1}=0$$ olacagindan $$\sum\limits_{k=0}^\infty x^k=\lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{k=0}^n x^k=\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1-x^{n+1}}{1-x}=\frac{1}{1-x}$$ olur.

7, Nisan, 2016 Sercan (23,831 puan) tarafından  cevaplandı
7, Nisan, 2016 Anil tarafından seçilmiş

Bravo!, ama benim ispatımıda görmeniz lazım:) yazarım gün içinde.

0 beğenilme 0 beğenilmeme
1>p>0
ve $p\in\mathbb{R}$

için sayı doğrusunu düşünelim 0 ve 1 arasında


$\underbrace{\star}_0\underbrace{---------}_{1-p}\underbrace{--------------------}_p\underbrace{\star}_1$


$p=p(1-p)+p^2$


$\underbrace{\star}_0\underbrace{---------}_{1-p}\underbrace{----------}_{p(1-p)}\underbrace{----------}_{p^2}\underbrace{\star}_1$


$p^2=p^2(1-p)+p^3$


$\underbrace{\star}_0\underbrace{---------}_{1-p}\underbrace{------}_{p(1-p)}\underbrace{----}_{p^2(1-p)}\underbrace{----------}_{p^3}\underbrace{\star}_1$



$p^3=p^3(1-p)+p^4$


$\underbrace{\star}_0\underbrace{---------}_{1-p}\underbrace{------}_{p(1-p)}\underbrace{----}_{p^2(1-p)}\underbrace{------}_{p^3(1-p)}\underbrace{----}_{p^4}\underbrace{\star}_1$


$\cdots$



böyle böyle devam edersek karşımıza şöyle bir denklem çıkar;

$(1-p)+p(1-p)+p^2(1-p)+p^3(1-p)+.......=1$

hertarafı   $(1-p)$   ye bölersek ispatlanır.


$1+p+p^2+p^3+p^4+p^5+......=\frac{1}{1-p}$   $\Box$

7, Nisan, 2016 Anil (7,732 puan) tarafından  cevaplandı
1, Mayıs, 2016 Anil tarafından düzenlendi

"Boyle boyle devam edersek demisin" bu boyle boyle nasil bir devam etme?

Mesela: "$s_k=1+x+x^2+\cdots+x^n$ ise $\lim s_k$" gibi.

evet?               

sımdı anlasılıyormu

Boyle boyle devam etme nasil? Nasil bir devam etme? Sorum bu.

yanı hocam en sağdakı olan $p^2$ yi açıyoruz sonra açılanlardan $p^3$ ü açıyoruz sürekli küçülen bir seri elde ediyoruz sonsuza giden.

Nasil bir seri bu? Terimleri nasil?

$\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}p^k.(1-p)=1$

...