f [a,b] aralığında sürekli ve sınırlı bir fonksiyon olsun.Bu durumda f, [a,b] aralığında integrallenebilirdir.ancak ve ancak verilen her £>0 sayısına karşılık [a,b] aralığının U(f,p)-L(f,p)<£ olacak şekilde bir p parçası vardır.ispatını yapınız?

Question

ispatını yapınız

Comments

Bu, Riemann integralinin standart tanımıdır.

Eğer bunun ispatı isteniyorsa, Riemann integralinin farklı bir tanım yapılmış olmalıdır. 

O tanımı yazabilir misin?

---

Evet, Dogan hocamla ayni gorusu sunuyorum.

---

bazı yerleri tam yazamadım hocam küçük eşitleri falan 

---

Riemann integralinin standart tanımında "süreklilik" koşulu yoktur (ve gereksizdir).

Ama, Riemann integrali başka türlü tanımlanmış ise, belki iddianın ispatını kolaylaştırmak için konmuş olabilir.

Answer 1

f fonksiyonunun [a,b] f aralığında sürekli ve sınırlı , P=(x0,x1,...,xn) [a,b] aralığının bir parçalanışı olsun.f [a,b] üzerinde sürekli olduğundan her bir [xi-1,xi] alt aralığında bir en küçük ve bir en büyük değeri alır.O halde mi=min (f(x) : x eleman [xi-1,xi]) Mi=max (f(x) : x eleman [xi-1,xi]) denir ise keyfi xi* eleman [xi,xi] olmak üzere mi küçük eşit f(xi*) küçük eşit Mi eşitsizliği elde edilir.