$\lim_{\mu \rightarrow 0}\dfrac{sin\mu}{\mu}=1$ ve sinx ispatından çıkarılan $\lim_{\theta \rightarrow 0}\dfrac{\tan\theta}{\theta}=1$ nın ispatı.

Question

$\lim_{\mu \rightarrow 0}\dfrac{sin\mu}{\mu}$ bu ifadeyi  "sandöviç" teoremi kullanarak ispatlayınız.

Answer 1

ispatin videosu: Youtube - Video - Turkce 

   

ilk olarak $x$'i $0$'a cok yakin bir poztif deger oldugunu kabul edelim.

Gorseldeki ic ucgenin, cember yayinin ve dis ucgenin alanlarinin iki katini incelersek:  $$\sin x  \le x  \le \tan x$$ olur ve dolayisiyla($\sin x$'i bu esitsizlige bolersek)  $$\cos x \le \frac{\sin x}{x} \le 1$$ olur. (Fonksiyonlar cift oldugundan bu esitsizlik sifira cok yakin negatif degerler icin de gecerli). $$\displaystyle\lim_{x \to 0} \cos x=1 \text { ve } \displaystyle\lim_{x \to 0} 1=1$$ oldugundan Sikistirma Teoreminden $$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$$ olur.

Answer 2

alanları sıkıştırma teoremine ek olarak

cebirsel olarak;

eğer sinx taylor serisi biliniyorsa ki biliyoruz;

$sinx=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{(2n+1)^!}.x^{2n+1}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+........$

hertarafta xli terimler mevcut olduğundan hertarafı x e bölelim;

$\dfrac{sinx}{x}=1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+........$

ve rahatlıkla limit alabiliriz.

$\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{sinx}{x}=\lim_{x \rightarrow 0}[1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+........]=1$  bulunur, ve ispatlanır.

Comments

Seri acilimi icin $\sin x$'in turevlerini hesaplamak lazim ve $\sin x$'in sifir noktasindaki turevi $$\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin x-0}{x-0}$$ oldugundan. Bu limitin degerini bilmeden seri acilimini yazamayiz.

---

ispat sağlıyor ,tabi tesadüf olarak sağlayabilir ama sizin dediğinizi anlamadım neden o türevi bilmemiz gerekli? zaten polinomlardan serileri çıkartırken terim terim katsayılar hesaplanmıyormu? aydınlatınız hocam

---

O dedigin terim terim bulma yolunu bana gonderebilir misin? Nasil terim terim bulunuyor?

---

mesela sonsuza giden bir polinom alalım $h(x)=a+bx+cx^2+dx^3+fx^4+......$

$h(x)=a+bx+cx^2+dx^3+fx^4+......$

$h(0)=a$

$h'(x)=b+2cx+3dx^2+4fx^3+......$

$h'(0)=b$

$h"(x)=2c+6dx+12fx^2+......$

$h"(0)=c$

:
:
:
 gibi

---

Bunu sinus icin nasil uygulayacagiz?

---

$sinx=a+bx+cx^2+dx^3+fx^4......$ olsun

$sin0=0$ olduğundan a=0

$cosx=b+2cx+3dx^2+4fx^3....$

$cos0=1$ oldugundan $b=1$

$-sinx=2c+6dx+12fx^2+.....$

$-sin0=0$ olduğundan $c=0$

$-cosx=6d+24fx+......$

 

$-cos0=-1$ oldugundan $d=-1/6$

$sinx=+24f+.....$

$sin0=0$ oldugundan $f=0$ bir sonraki değer $1/120$ olur öyle öyle gider.

---

$\cos x=b+2cx+\cdots$ esitligi nereden geliyor?

---

her terimden sonra türev alıyorum tüm eşitliği

---

sinusun turevi cosinus diyorsun yani? Bunu nereden biliyoruz?

---

$sinx=a+bx+cx^2+dx^3+fx^4......$ olsun

$sin0=0$ olduğundan a=0
sinx türev alıyoruz.

$cosx=b+2cx+3dx^2+4fx^3....$

$cos0=1$ oldugundan $b=1$

cosx türev alıyoruz.

$-sinx=2c+6dx+12fx^2+.....$

$-sin0=0$ olduğundan $c=0$

-sinx türev alıyoruz.

$-cosx=6d+24fx+......$

 

$-cos0=-1$ oldugundan $d=-1/6$

-cosx türev alıyoruz.

$sinx=+24f+.....$

$sin0=0$ oldugundan $f=0$ bir sonraki değer $1/120$ olur öyle öyle gider.

---

türevin limit tanımından geliyor $(cosx)'=-sinx$   ve $(sinx)'=cosx$

---

O zaman ilk yorumuma donelim.


Seri acilimi icin $\sin x$'in turevlerini hesaplamak lazim ve $\sin x$'in sifir noktasindaki turevi $$\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin x-0}{x-0}$$ oldugundan. Bu limitin degerini bilmeden seri acilimini yazamayiz.


Bu turevi hesaplayabilmek icin bu limiti bilmemiz gerekiyor? Bunu kullanmadan yapilan ispat var ise ayri. 

---

Zaten esitlik saglandiktan sonra gercekten de o polinom ifaesi esitligi saglar mi, bu soru da onemli. Yani bir esitligi kabul edip yazman, esit olacagi anlamina gelmez, bir de esit olmalari gerektigini ispatlaman gerekir.

---

yani dairesel bir ispat oluyor "türevini alıyorsun tamam ama nasıl alıyorsun alıyorum çünki böyle bununda ispatı böyle" . sıkıntı kalmadı.

---

aynen oda sıkıntılı sonsuz polınom doğru degerlere yaklaşyıor dıye kesın degıldır .Peki benim yaptıgım bu polınomal şeyi nasıl ispatlayabılırız?

---

Isin acikcasi senin dedigin yontemi bilmiyorum. Seri acilimlarina bakarsan, hata payi siniri var, eger o sinir sifira giderse seri acilimi fonksiyona esit oluyor.

Answer 3

tanx için ise

$\lim_{\theta \rightarrow 0}\dfrac{\tan\theta}{\theta} =\dfrac{\overbrace{\lim_{\theta \rightarrow 0}\frac{sin\theta}{\theta}}^1}{\underbrace{\lim_{\theta \rightarrow 0}cos\theta}_1}=1$

Comments

Bence bu cevabi silip, $\tan x$ icin yeni baslik ac, ya da diger cevabina ekle bu cevabi. Daha iyi olur bence.

---

hocam başlıkta ekledim olmadımı gene?

---

Biri ispat biri cikarimi.. Ondan dolayi dedim. Diger cevabina ekle diye.  Kendi dusuncem olarak, bir soruda sorularin ikiye ayrilarak cevaplama fikrine hafif karsiyim. Eger iki uzun cevap gerekiyorsa iki baslikta sorulmali. Ya da tek cevap olmali. (Ayni sonucun farkli sekilde ispatlari degilse tabi).

Kisacasi sen bilirsin hacim :)

---

öneriniz için çok teşekkür ederim sevgili hocam:)