$\sqrt 2$ yani karesi 2 olan bir sayının varolduğunu ispatlayalım.

0 beğenilme 0 beğenilmeme
162 kez görüntülendi

ipucu: 2 tam sayı alalım   $f,c \in\mathbb{R}$     $f$ 'i incelemek için $c$ 'yi şöyle kullanabiliriz.
(sayı doğrusu hayal ediniz...)  $f$  bir yerlerde sabit duruyor   $c$ ise ya $f$ 'e eşit olabilir($f=c$) veya büyük olabilir($c>f$)(sayı doğrusunda f'in sağında)  veya küçük olabilir($f>c$) (sayı doğrusunda f'in solunda). Eğer $c$'yi $f$'e eşitlemek istiyorsak küçük olmadığını ve büyük olmadığını ispatlamamız yeterli olucaktır.

27, Mart, 2016 Lisans Matematik kategorisinde Anil (7,670 puan) tarafından  soruldu

Kardeşim kok2 nin bulunuşu zaten pisagordan Pisagor teoremi dediki karesi 2 olan bi sayı var daha ne ispatı istiyosun anlamadim

$1^2+1^2=x^2$ olmali. Yani $x^2=2$ olmali. O cizdigimiz dogru uzunlugu gercekten gercel bir sayi mi?

Soyle diyeyim: Rasyonel bir sayi mi desem, hayir degil dersin ve tanimindan da ispatlayabilirsin. Peki gercel sayinin tanimindan bunu ispatlayabilir misin: Bir kagida cizdigimiz her cizginin uzunlugu gercel olmali diye.

yok biz anlasamadık heralde ya yada ben soruyu anlamadım sen bana diger ispatı yaz bakayım kök2  birim uzunlugu zaten nasıl çizebilirizki

Hangi diger ispati? Benim ispatimi diyorsan yukarida yazdim cevabi.

bir birim uzunluk alırsak mesela kök 2 yi gayet de çizeriz ama öbür adam derki ya bir birim uzunluk ne ben santımı bilirim der alır metreyi 1 cm çizer bizde 2  dik kenarları birlestirir hipotenusu olustururuz deriz ki kök2 bu sefer kök2 cm olur öbür adam cıkar 1 metre yi kabul eder o zaman kök2 metre olur. yani zaten 2 anlamsız bisi 5 de kök2 de aslında 5 neyse kök2 o hiçbirfarkı yokki
kök2 anlamsız hiçbi anlamı yok fakat kök2 cm yada 5 br dersek bunlar anlamlı seyler olur 
yani kök2 birimle kök2 santim cok farklı uzunluklar oldu ama bisey hiç degismedi bu uzunluklara metre tutarsak hiç bi sekilde bi tam deger elde edemeyecegiz hep o metrenin aralıkları olucak.
ama söyle bisey ki o da uzunluk belirtecek ki pisagordan 1 i çizebiliyosak kök2yi de çizebilecegiz.

muhabbetimle baymıs olabilirim ama reel sayılara açıklık getirelim ya kaba saba yorumlar olması filan bana rahatsızlık vermez arkadaslar açıkcası böyle bi siteden de çok memnunum bisiler ögreniyoruz ülkemizde matematigin durumu belli hepimiz birbirimizden bisi ögrenmeliyiz bence.

simdi ilk sayıların bulunusu dogal sayıyla baslar ki cok mantıklıdır insanlar 1 i 2 yi buldu 3 ü 4 ü filan ilk defa sonsuz kavramıda buydu belkide gerçi dogasını pek anlamadılar ama kullandılar. Sayılara bi anlam verilmediler hiç sayı nedir sorusu bile sorulmadı belki taki Dedekind e kadar
ondan sonra pisagor diye bi adam cıktı her sayı orantılıdır (ortak orantılıdır ) gibi bi sey öne sürdü hakikatende bu iste kesirli(rasyonel) sayıların çıkısıydı. iste pisagora göre 5 ile 3  ne bileyim 7 ile 4 bunlar ortak orantılıydı ve bu oran da bi kesirli sayıydı ve pisagor iste o dönemin tanrısıydı bitmisti ama bigün öyle bisey olduki pisagor yıkıldı aptal bi ögrencisi pisagoru yıktı bir düzgün pentagon(düzgün besgen) varya bi acısı 108 bir uzunlugu a br olsun bu 3 lü olan kenarlardan kısa bi üçgen olusturalım alt kenara b diyelim iste bu ögrenci bu a ile b nin hiç bir sekilde ortak orantılı olamayacagını gösterdi. İste bu pisagorun sonuydu sakladılar falan filan ama açıklamak zorundaydılar öte yandan 2. darbe geldi 1 birim uzunlugundaki dik üçgenin hipotenusunun ortak oranlı bi sayı( yada rasyonel sayı) olmadıgı bunun ispatını çogumuz biliriz. iste artık reel sayılara ihtiyaç duyuldu. Ama söyle diyim ilerisi yok reel sayılar doymus bi cisimdir. Artık dolu bi bardak düsünün bir damla almaz iste reel sayılar budur. diyeceksinizki komplex sayılar onlar bu boyutta degil.
son olarak cevabım su olucak arkadas demis neye göre reel bi sayı nasıl çizilebilir filan her gün çiziyoruz aslında çizdigin çember her zaman irrasyonel bi uzunluga tekabul eder her r yarıçaplı cember uzunlugu irrasyoneldir. 
uzun oldu ama saygılar.


Ben kendi cevabimi da cok iyi gormuyorum. En iyisi reel sayilarin insasi ile $x^2<2$ elemanlarinin supremumunu almak .

Bu soylediklerin biraz tarih iceriyor ve ben bilmiyorum. Fakat bir ispat yaparken nei kullanacagimizin belli olmasi gerekir. Cunku matematik insa uzerine. Bu soruda da cok belli degil fakat istenen insa uzerine bir varlik.

Bu nedenle cevapta sunu ekledim: Eger istenen bunun pozitif bir kokunun olmasi ise. Bu da benzer bir soru ama farkli. 

Matematik camiasi olarak, tanimlara iyi asina olmaliyiz. Gorsellik guzeldir fakat tanim degildir. Bunun en guzel ornekleri cizge teorisinde cizgeyi cizersin ama o cizim cizgenin bir gorselidir, tanimi degil.

x^2 < 2 nin supremumunu bulursan bana da söyle çok merak ettim 

$\sqrt 2$ iste :)

bu arada görsel olarak çok ispat var matematik de en bilinmisi pisagor sonra iki kare farkı da görsel bi ispat ordaki pentagondaki b sayısının reel olusu da görsel bi ispat bunu da söyleyeyim 

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap
Sorulan $f(x)=x^2-2$'nin pozitif koku olup olmadigi ise cevabim soyle. 

$f$ fonksiyonu $[1,2]$ araliginda surekli, $f(1)=-1$, $f(2)=2$ oldugundan orta deger teoreminden dolayi $[1,2]$ araliginda oyle bir $c$ degeri vardir ki $f(c)=0$ olur. Buda karesi $2$ olan pozitif bir sayinin varligina delalet eder.
12, Nisan, 2016 Sercan (23,203 puan) tarafından  cevaplandı
12, Nisan, 2016 Anil tarafından seçilmiş

yeni gördüm ispatını ortalama deger e hiç girmeden de söyle bi ispat vereyim öyleyse [1,2] aralıgında 

F(x)=x fonksiyonu tanımlayayım bu fonksiyonun birebirligini gösterirsem kök2 diye bi sayı vardır bu da 2 den kücüktur ve bu sayı da bu fonksyonun tanım kumesindedir ? 

F(x) =/ F(y) iken x=/ y olmalı x^2 =/ y^2     kök içine alalım x=/ y oldu yada x=/ -y zaten tanım aralıgı geregi - olamaz x=/ y oldu dolayısıyla birebirligini gördük fonksiyon tanımından zaten her elemaz bi yere gitti dolayısıyla kök2 nin varlıgı görülmüs oldu 

0 beğenilme 0 beğenilmeme

söyleki pisagor teoreminden direk bi ispat vereyim kardesim 1 diye bi sayının varlıgını biliyosak kök2 ninde bilmeliyiz 

iki kenarı 1 birim olan ikizkenar dik üçgen alalım. ispat tamamdır  

istersen eger pisagor teoremine de çok basit bi ispat verebilirim sayı dogrusuymus filanmıs gerek yok basit bi şekilde kök2 nin varlıgı ispatlanmıstır.

12, Nisan, 2016 hllnvr (98 puan) tarafından  cevaplandı

hocam iyi diyonda bende bu dediğini anlıyorum bariz olarak olay bunu matematiksel olarak ispatlamak.

O zaman adama sorarlar nasil bir matematik istiyorsun :)

helalinvar(hllnvr) sercan hoca cevap vermiş onu inceleyiniz.Mantıklı  ve anlaşılır olmuş teşekkürler.

Buna neden itiraz ediyorsun peki? Matematiksel olarak?

çok matematiksel birşey açıklamış bile olsaydı

ciddiyetten ve anlaşılırlıktan uzak bir yazım olmuş iki kenarı 1 olan dik üçgeni pisagorcular aldı 

$\sqrt 2$ bulmadı kaç yüzyıl bu garipliği anlamağa çalıştılar:) bu arkadaşın dediği öyle bir sayı oldugunu kesinlemez matematiği çürütmekle bu sayıyı açıklamak arasındaki ince çizgiyi belli etmek önemli olan:)

Bence yorum biraz tepkili/~kaba gibi olmus, bence... Fakat kendi fikrine gore sana matematiksel gelmedigini soylemek, kotu degil. Oyle demek istedigini dusunuyorum.

peki ! .             

...