$$\left.\begin{array}{ccc} \sin(x+y)=\sin x\cdot\cos y+\cos x\cdot\sin y \\ \sin(x-y)=\sin x\cdot\cos y-\cos x\cdot\sin y \end{array}\right\}\Rightarrow \sin(x+y)+\sin(x-y)=2\sin x\cdot\cos y$$
$$\Rightarrow$$
$$\sin x\cdot\cos y=\frac12\left[\sin(x+y)+\sin(x-y)\right].$$
$$------------------------------------$$
$$\left.\begin{array}{ccc} \cos(x+y)=\cos x\cdot\cos y-\sin x\cdot\sin y \\ \cos(x-y)=\cos x\cdot\cos y+\sin x\cdot\sin y \end{array}\right\}\Rightarrow \cos(x+y)+\cos(x-y)=2\cos x\cdot\cos y$$
$$\Rightarrow$$
$$\cos x\cdot\cos y=\frac12\left[\cos(x+y)+\cos(x-y)\right].$$
$$------------------------------------$$
$$\left.\begin{array}{ccc} \cos(x+y)=\cos x\cdot\cos y-\sin x\cdot\sin y \\ \cos(x-y)=\cos x\cdot\cos y+\sin x\cdot\sin y \end{array}\right\}\Rightarrow \cos(x+y)-\cos(x-y)=-2\sin x\cdot\sin y$$
$$\Rightarrow$$
$$\sin x\cdot\sin y=-\frac12\left[\cos(x+y)-\cos(x-y)\right].$$
$$------------------------------------$$
Burada önemli olan ilk olarak aşağıdaki eşitlikleri elde etmek. Eğer aşağıdaki eşitlikleri elde edebiliyorsak bunlardan hareketle yukarıda yaptığımız gibi bazı eşitlikleri bulmak daha da kolaylaşıyor. Bu aşağıda yazdığım eşitlikleri birim çember yardımıyla ispatlamaya çalışmanı tavsiye ederim.
$$\sin(x\mp y)=\sin x\cdot\cos y\mp\cos x\cdot\sin y$$
$$\cos(x\mp y)=\cos x\cdot\cos y\pm\sin x\cdot\sin y$$