Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
7.1k kez görüntülendi

SİNÜSköşeleri A,B,C ve  kenarları a,b,c olarak verilen standart bir üçgende(standarttan kasıt:A ve B köşeleri arasında c kenarının oldugu bilinen.B ve C köşeleri arasında a kenarının oldugu bılınen.) üçgenin çevrel çemberinin yarıçapınında R olarak verildiği durumda ;

sinüs teoreminin:

asinA=bsinB=csinC=2R    olduğunu kanıtlayınız. 

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (7.9k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 7.1k kez görüntülendi

4 Cevaplar

2 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

ABC üçgenine O merkezli bir çevrel çember çizelim. Eğer |OB|=|OC|=R ve  kenarlarını çizersek m(BOC)=2A olur. Eğer OEBC olmak üzere bir E noktası seçersek |OE|=R.sin(90A)=R.cosA olur. O halde A(BOC)=a.R.cosA2 olur. Ayrıca sinüs bağıntısından A(BOC)=R2.sin2A2 olmalıdır. İki denklemi eşitlikte yazarsak a.R.cosA2=R2.sin2A2 denklemini elde ederiz. Eşitlikte sin2A=2.cosA.sinA yazıp sadeleştirme yaparsak asinA=2R olur. Bunun aynısını AOC ve AOB üçgenleri için de yapabileceğimizden asinA=bsinB=csinC=2R teoremini ispatlamış oluruz.

(2.9k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
1 beğenilme 0 beğenilmeme

image 


Çevrel çemberin yarıçapı R ise  Üçgenin Alanı abc4R  olur. (ispatı sitede mevcut)

SABC=12.ab.sinγ


SABC=12.ac.sinβ


SABC=12.bc.sinα



SABC=12.ab.sinγ=12.ac.sinβ=12.bc.sinα=abc4R


hertarafı 12.abc  ye bölelim


sinαa=sinβb=sinγc=12R olur , ters çevirirsek,



asinα=bsinβ=csinγ=2R ispatlanır.


(7.9k puan) tarafından 
1 beğenilme 0 beğenilmeme

ABC  üçgeninin çevrel çemberinin merkezi  O ve çemberin yarı çapı R  olsun. BOC,AOC,AOB  üçgenlerine kosinüs teoremi uygulanır ve cos2A=12sin2A olduğu gözönüne alınırsa a2=4R2sin2A,b2=4R2sin2B,c2=4R2sin2C  eşitlikleri elde olunur. Eşitliklerin oranlanması sinüs teoremini verir.

(3.3k puan) tarafından 
0 beğenilme 0 beğenilmeme

ABC üçgeninin çevrel çemberinin merkezi O ,yarıçapı R birim olsun. Kenar uzunlukları da |BC|=a,|AC|=b,|AB|=c birim olsunlar.  A köşesinden çizilen çapın diğer ucu çevrel çemberi D noktasında kessin. Çapı gördüğü için m(ABD)=90 dir. Ayrıca aynı yayı gördükleri için de m(ADB)=m(ACB) dir. 

ABD dik üçgeninin de sinADB=sinACB=c2R2R=csinC olur. Benzer şekilde 2R=asinA  ve 2R=bsinB oldukları gösterilebilir.

(19.2k puan) tarafından 
20,308 soru
21,856 cevap
73,577 yorum
2,805,605 kullanıcı