Sinüs teoreminin ispatı

Question

SİNÜSköşeleri $A,B,C$ ve  kenarları $a,b,c$ olarak verilen standart bir üçgende(standarttan kasıt:A ve B köşeleri arasında c kenarının oldugu bilinen.B ve C köşeleri arasında a kenarının oldugu bılınen.) üçgenin çevrel çemberinin yarıçapınında $R$ olarak verildiği durumda ;

sinüs teoreminin:

$\dfrac{a}{sinA}=\dfrac{b}{sinB}=\dfrac{c}{sinC}=2R$    olduğunu kanıtlayınız. 

Answer 1

$ABC$ üçgenine $O$ merkezli bir çevrel çember çizelim. Eğer $|OB|=|OC|=R$ ve  kenarlarını çizersek $m(BOC)=2A$ olur. Eğer $OE \bot BC$ olmak üzere bir $E$ noktası seçersek $|OE|=R.sin(90-A)=R.cosA$ olur. O halde $A(BOC)=\frac{a.R.cosA}{2}$ olur. Ayrıca sinüs bağıntısından $A(BOC)=\frac{R^2.sin2A}{2}$ olmalıdır. İki denklemi eşitlikte yazarsak $\frac{a.R.cosA}{2}=\frac{R^2.sin2A}{2}$ denklemini elde ederiz. Eşitlikte $sin2A=2.cosA.sinA$ yazıp sadeleştirme yaparsak $\frac{a}{sinA}=2R$ olur. Bunun aynısını $AOC$ ve $AOB$ üçgenleri için de yapabileceğimizden $\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$ teoremini ispatlamış oluruz.

Answer 2

 


Çevrel çemberin yarıçapı R ise  Üçgenin Alanı $\dfrac{abc}{4R}$  olur. (ispatı sitede mevcut)

$S_{ABC}=\dfrac{1}{2}.ab.sin\gamma$

$S_{ABC}=\dfrac{1}{2}.ac.sin\beta$

$S_{ABC}=\dfrac{1}{2}.bc.sin\alpha$

$S_{ABC}=\dfrac{1}{2}.ab.sin\gamma=\dfrac{1}{2}.ac.sin\beta=\dfrac{1}{2}.bc.sin\alpha=\dfrac{abc}{4R}$

hertarafı $\dfrac{1}{2}.abc$  ye bölelim

$\dfrac{sin\alpha}{a}=\dfrac{sin\beta}{b}=\dfrac{sin\gamma}{c}=\dfrac{1}{2R}$ olur , ters çevirirsek,

$\dfrac{a}{sin\alpha}=\dfrac{b}{sin\beta}=\dfrac{c}{sin\gamma}=2R$ ispatlanır. $\Box$

Answer 3

$ABC$  üçgeninin çevrel çemberinin merkezi  $O$ ve çemberin yarı çapı $R$  olsun. $BOC, AOC, AOB$  üçgenlerine kosinüs teoremi uygulanır ve $cos2A=1-2sin^2A$ olduğu gözönüne alınırsa $$a^2=4R^2sin^2A, b^2=4R^2sin^2B,c^2=4R^2sin^2C$$   eşitlikleri elde olunur. Eşitliklerin oranlanması sinüs teoremini verir.

Answer 4

ABC üçgeninin çevrel çemberinin merkezi $O$ ,yarıçapı $R$ birim olsun. Kenar uzunlukları da $|BC|=a, |AC|=b, |AB|=c$ birim olsunlar.  $A$ köşesinden çizilen çapın diğer ucu çevrel çemberi $D$ noktasında kessin. Çapı gördüğü için $m(ABD)=90$ dir. Ayrıca aynı yayı gördükleri için de $m(ADB)=m(ACB)$ dir. 

ABD dik üçgeninin de $sinADB=sinACB=\frac{c}{2R}\Rightarrow 2R= \frac{c}{sinC}$ olur. Benzer şekilde $2R= \frac{a}{sinA}$  ve $2R= \frac{b}{sinB}$ oldukları gösterilebilir.