Sinüs teoreminin ispatı

1 beğenilme 0 beğenilmeme
567 kez görüntülendi

köşeleri $A,B,C$ ve  kenarları $a,b,c$ olarak verilen standart bir üçgende(standarttan kasıt:A ve B köşeleri arasında c kenarının oldugu bilinen.B ve C köşeleri arasında a kenarının oldugu bılınen.) üçgenin çevrel çemberinin yarıçapınında $R$ olarak verildiği durumda ;

sinüs teoreminin:

$\dfrac{a}{sinA}=\dfrac{b}{sinB}=\dfrac{c}{sinC}=2R$    olduğunu kanıtlayınız. 

25, Mart, 2016 Orta Öğretim Matematik kategorisinde Anıl (6,706 puan) tarafından  soruldu

2 Cevaplar

2 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

$ABC$ üçgenine $O$ merkezli bir çevrel çember çizelim. Eğer $|OB|=|OC|=R$ ve  kenarlarını çizersek $m(BOC)=2A$ olur. Eğer $OE \bot BC$ olmak üzere bir $E$ noktası seçersek $|OE|=R.sin(90-A)=R.cosA$ olur. O halde $A(BOC)=\frac{a.R.cosA}{2}$ olur. Ayrıca sinüs bağıntısından $A(BOC)=\frac{R^2.sin2A}{2}$ olmalıdır. İki denklemi eşitlikte yazarsak $\frac{a.R.cosA}{2}=\frac{R^2.sin2A}{2}$ denklemini elde ederiz. Eşitlikte $sin2A=2.cosA.sinA$ yazıp sadeleştirme yaparsak $\frac{a}{sinA}=2R$ olur. Bunun aynısını $AOC$ ve $AOB$ üçgenleri için de yapabileceğimizden $\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$ teoremini ispatlamış oluruz.

25, Mart, 2016 sonelektrikbukucu (2,871 puan) tarafından  cevaplandı
25, Mart, 2016 Anıl tarafından seçilmiş
1 beğenilme 0 beğenilmeme

image 


Çevrel çemberin yarıçapı R ise  Üçgenin Alanı $\dfrac{abc}{4R}$  olur. (ispatı sitede mevcut)

$S_{ABC}=\dfrac{1}{2}.ab.sin\gamma$


$S_{ABC}=\dfrac{1}{2}.ac.sin\beta$


$S_{ABC}=\dfrac{1}{2}.bc.sin\alpha$



$S_{ABC}=\dfrac{1}{2}.ab.sin\gamma=\dfrac{1}{2}.ac.sin\beta=\dfrac{1}{2}.bc.sin\alpha=\dfrac{abc}{4R}$


hertarafı $\dfrac{1}{2}.abc$  ye bölelim


$\dfrac{sin\alpha}{a}=\dfrac{sin\beta}{b}=\dfrac{sin\gamma}{c}=\dfrac{1}{2R}$ olur , ters çevirirsek,



$\dfrac{a}{sin\alpha}=\dfrac{b}{sin\beta}=\dfrac{c}{sin\gamma}=2R$ ispatlanır. $\Box$


22, Mayıs, 2016 Anıl (6,706 puan) tarafından  cevaplandı
...