Tikiz Dayanaga Sahip Fonksiyonun Integrali

Question

Uyari: Soruya bir cok ekleme yaptim. Bu bir odev sorusu. Buraya yazdiktan sonra, soruyu kendim cozdum. Ama biri kontrol ederse sevinirim. Ustelik hala kafam karisik. Asagida "kalkulus ozurlusu olarak" sordugum soru gecerliligini koruyor.

Kanitlamam gereken sey su:

Eger $F \in (C^{\infty}_c)' (\mathbb{R})$ dagitimi (distribution'in turkcesini bulamadim tmd sozlukte), dagitim manasinda $\frac{d}{dx}F = 0$ esitligini sagliyorsa, sabit bir fonksiyonla temsil edilmektedir. Yani, oyle bir $c \in \mathbb{R}$ vardir ki her $\phi \in C^{\infty}_c$ icin $F(\phi) = c \int \phi$ olur.

Ama cok basit bir konuda takiliyorum daha soruya baslamadan:

Sorunun dogru oldugunu kabul edelim. Ve $F(\phi) = c \int \phi$ alalim. Bu durumda beklentim 

$$\frac{d}{dx}(F)(\phi) = -F(\phi') = -c \int\phi'(x)dx = 0$$

olmasi her $\phi$ icin. Diyelim $c \neq 0$. Bu da demek oluyor ki her $\phi$ icin,

 

$$\int \phi'(x) dx = 0$$

Kalkulus ozurlusu biri olarak soruyorum: bu nasil mumkundur?

Ekleme: Soruda bir de soyle bir ipucu verilmis. Once $\int \phi = 0$ olan fonksiyonlari dusunun.

Answer 1

Dusunelim bakalim:

(1) $\int \phi = 0$ ve $supp(\phi) \subseteq [a,b]$ olsun.

$$\Phi(x) = \int_{-\infty}^x \phi(y)dy$$ fonksiyonu da tikiz dayanakli olmak zorundadir. Zira, $x \leq a$ icin $$\Phi(x) = \int_{- \infty}^x \phi(y)dy = \int_{- \infty}^x 0 dy = 0$$ ve $x \geq b$ icin, $$\int_{- \infty}^x \phi(y)dy = \int_{a}^b \phi(y)dy = 0$$ Bu durumda kalkulusun temel teoremini uygulayabilirim: $$\frac{d}{dx}\Phi(x)=\phi(x)$$

Demek ki $\int \phi =0$ ise,

$$F(\phi) = F(\frac{d}{dx} \Phi) = -\frac{d}{dx}F(\Phi) = 0$$

(2) Simdi $\int \phi = a \neq 0$ olsun. $h(x) = \frac{1}{a} \phi(x)$ fonksiyonu da $C^{\infty}_c$'dedir ve $\int h = 1$dir. Bu durumda

$$F(\phi) = F(ah) = aF(h) = F(h) \int \phi(x)dx$$ olur. Simdi istedigim seye yaklasmis durumdayim. Gostermem gereken sey, istedigim $F(h)$'in sabit olmasi gerektigi. Yani $\phi$ ne olursa olsun ($\int \phi \neq 0$ olmak kaydiyla), $F(h)$ aynidir. 

(3) $g, h \in C^{\infty}_{c}(\mathbb{R})$, integrali $1$e esit olan iki fonksiyon olsun. Bu durumda

$$\int g-h = \int g - \int h = 1 - 1 = 0$$ olur ve (1)'den dolayi $F(g - h) = 0$dir. Yani, $F(g) = F(h)$ olur. Demek ki integrali $1$e esit olan her $h$ fonksiyonu icin $F(h)$ sabittir.

(4) Toparlarsak $h \in C^{\infty}_{c}(\mathbb{R})$ fonksiyonu integrali 1 olan bir fonksiyon ve $c = F(h)$ olmak uzere,

$$F(\phi) = c \int \phi$$

olur.

Answer 2

Benim kafami asil kurcalayan sey, her test fonksiyonu $\phi \in C_c^{\infty}(\mathbb{R})$ icin

$$\int \phi'(x)dx = 0$$

olmasiydi. Bir turlu dogal gelmemisti. Sakin kafayla bir kez daha dusununce sorumun cevabinin kalkulusun temel teoreminde yattigini goruyorum. $\phi$'nin dayanagi tikiz oldugu icin, $\phi'$ da $supp(\phi)$'nin disinda sifir olur. Yani $a, b\in \mathbb{R}$ sayilarini cok buyuk secersem,

$$\int_{-\infty}^{\infty} \phi'(x)dx = \int_a^b \phi'(x)dx = \phi(b) - \phi(a) = 0 - 0 = 0$$

olur tabii ki. Bunu aslinda ilk basta da akil etmistim. Ama hep "Ya $a$ ve $b$'yi yeteri kadar buyuk almazsak ne olur?" diye soruyordum kendime. Mesela tam dayanagin sinirlarina yakin. Ama fonksiyonlarimiz surekli (hatta smooth), o yuzden dayanagin sinirlarina yaklastikca fonksiyonum da tabii ki sifira yaklasacak!