Yarıçapı ve çevresi bilinen bir dairenin alanının ispatı

1 beğenilme 0 beğenilmeme
936 kez görüntülendi

$A$ birşeylerin alanını bulan fonksiyon olsun.
Yarıçapı $r$  ve çevresi $2\pi.r$  olan bir dairemiz olsun neden  $A(daire)$$=\pi.r^2$  dir ispatlayınız.

24, Mart, 2016 Lisans Matematik kategorisinde Anil (6,713 puan) tarafından  soruldu
1, Ocak, 1 Anil tarafından yeniden gösterildi

Yüksek ihtimalle integralle hesaplanıyordur.Ben beceremem ama bir düşüneyim :)

integral degil birşeyler birşeylere yaklaşcak.

Şu an şeyi düşünüyorum.Geometride dairede herhangi bir dilimin alanını hesaplarken üçgen gibi hesaplayabiliyoruz.Yani taban çevresi x yarıçap.Üçgenin çevresinde herhangi bir bölümde sonsuz küçüklükte bir parça alalım.Bu parçanın taban çevresini yarıçapla çarpıp riemann toplamıyla hesaplayalım.Deniyorum bakalım sen de dene ben düzgün yapamayabilirim.

sen uğraş ben tam çözümünü atıcam senden sonra.

Basit olarak şöyle bir şey yaptım bu bir ispat mı değil mi onu da bilmiyorum belki çok saçmadır ama olsun.

Dairenin çevresinde bir yay aldığımızı düşünelim bu yay a uzunluğunda olsun. a= $\frac{2\pi.r}{360}$ olur. $\frac{taban x yarıçap}{2}$ $\frac{2\pi.(r^2)}{360.2}$ = $\frac{\pi.(r^2)}{360}$ buluruz.

Bu 1 derecelik dilimdi. 360 ile çarparsak. $\pi.(r^2)$ buluruz.

Sonsuz parçalı yapamadım o yüzden 1 dereceyle yaptım.

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

İpucu $4\int_0^r\sqrt{r^2-x^2}dx=\pi r^2$dir.

24, Mart, 2016 Mehmet Toktaş (18,323 puan) tarafından  cevaplandı
1 beğenilme 0 beğenilmeme

image


Barizdirki, çokgen köşegen sayısı arttıkça çembere benzemekte ve dolayısıyla alanı çember alanına eşit olmalı.

İspat için;
 
1  $n$  kenarlı bir düzgün çokgen çizilir.

2  Merkezden köşelere uzunluk $r$ seçilir ve köşelerden geçen daire alanı hesaplanmaya başlanılır.

Çokgende $n$ üçgen olacağından  tek bir üçgenin alanından $n$ tane toplamak yeterli ve $n$ sonsuza giderken bu alanın daire alanına yakınsayacagı da aşikâr.
image


Çokgenin alanı=Üçgen sayısı $\times$ Üçgen alanı

Yani;

Çokgen Alanı:  $n\cdot (rcos\alpha)(rsin\alpha)$

Ve tüm merkez açı $2\pi$ olduğundan ve $n$ üçgene pay edildiğinden;

$\dfrac{2\pi}{n}=2\alpha$ gelir

Çokgen Alanı:  $n\cdot \left(rcos\left(\frac{\pi}{n}\right)\right)\left(rsin\left(\frac{\pi}{n}\right)\right)=nr^2\left(cos\left(\frac{\pi}{n}\right)sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\right)=\dfrac{nr^2}{2}\left(sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)\right)$

Limit alalım;

$\lim\limits_{n\to \infty}\frac{nr^2}{2}\left(sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)\right)$  Belirsizlik olduğundan ;

$\boxed{\boxed{\lim\limits_{a\to 0}=\dfrac{sin(ta)}{ta}=\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{sin\left(\frac{t}{n}\right)}{\frac tn}=1}}$

Bilgisini kullanarak;

$\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{nr^2}{2}\left(sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)\right)=\lim\limits_{n\to \infty}\pi r^2\underbrace{\dfrac{\left(sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)\right)}{\frac{2\pi}{n}}}_{1}=\pi r^2$  ispatlanır .$\Box$


1, Ocak, 1 Anil (6,713 puan) tarafından  cevaplandı

Peki, $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$ icin cember alanini kullanmadan ispat verebilir misin? 

o pdf e bakmadan denicem olmadi bakarim :)

haa hem ona gerek yokki ispatta zaten ucgen alani kullandim sinx/x de de taylor kullanirim sikinti kalmaz

sinüsün türevini nasıl alacaksın peki?
...