Einstein alan denklemi, -tam haliyle A. Einstein Annalen der Physik 354, 769-822 (1916)
doi:10.1002/andp.19163540702 makalesinde yayınlanan- genel görecelilik kuramının alan denklemidir.
(Benim de şimdi farketiğim) $\Lambda$ kosmolojik sabiti ile olan terim, sonradan denklemi genelleştirmek amacıyla eklenmiş ve vakum enerjisi olarak görülebilirmiş (=evrende hiç madde bulunmadığını farzetiğimizde $\equiv (T_{\mu\nu}=0)\wedge \text{Einstein alan denklemi} \Rightarrow$) $ \Lambda=\frac{8\pi G}{c^2}\rho_{vakum}\approx 1,9\cdot 10^{-27}cm/g\cdot\rho_{vakum}$
Vakumun enerji yoğunluğu/'enerjisi' $\rho_{vakum}$; yakın bir zamana kadar sıfır kabul edilirken, yeni gözlemlerden zamana bağlı olduğu (kara enerji denen şey işte buymuş!) ve günümüzde $\rho_{vakum}\approx5.95\cdot 10^{-30} g/cm^3$ değerini aldığı ölçülmüş.
Bunun dışında denklemde $R$/$R_{\mu\nu}$ eğim tensörü, $G$ ya da $k=6,674\cdot 10^{-8}cm^3g^{-1}s^{-2}$ kütle çekim sabiti, $c$ ışık hızı, $g_{\mu\nu}$ Lorentz metriği ; uzayzaman $(Ç,g)$ ile madde tensör alanları $\Phi_1,\Phi_2,...,\Phi_k$'ları betimleyen enerji-devinirlik tensörünü gösteriyor.
Maddenin farklı farklı betimlenmesi durumu var, ona göre enerji-devinirlik tensörünün tanımı değişiyor:
-Tozlar($\rho$ enerji yoğunluğu)
$T=\rho(X\otimes X)$
-mükemmel sıvılar($p$ basınç):
$T=\rho(X\otimes X+p(g+X\otimes X)$
-elektromanyetik alanlar ($F_{\mu\nu}$ elektromanyetik alan tensörü):
$T_{\mu\nu}=\frac{1}{4\pi}(-F_{\mu\theta}F^{\theta}_\nu+\frac{1}{4}F_{\theta\gamma}F^{\theta\gamma}g_{\mu\nu})$
-dörtlü hıza sahip ($u^\mu=\frac{dx^\mu}{ds}$, $ds=cdt\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$) makroskopik parçacıklar($p$ devinirlik, $\rho$ enerji yoğunluğu)
$T_{\mu\nu}=(p+\epsilon)u_\mu u_\nu-pg_{\mu\nu}-pg_{\mu\nu}$
ama her şekilde simetrik ikinci dereceden bir tensör, bir $X$ gözlemci çerçevesi için $T(X,X)$, $X$'te ölçülen enerji yoğunluğunu veriyor ve enerji korunumunu gözetmek için $\nabla_\mu g^{\mu\theta}T_{\theta\nu}=0$ olması gerekiyor.
Genel görecelilik kuramının tüm içeriği şöyle özetlenebilir:
Uzayzaman; üzerinde bir Lorentz metriği $g_{ab}$ tanımlı olan dörtboyutlu bir çokkatlı $Ç$'dir (bkz.) ve $g_{ab}$'nin eğiminin, uzayzamandaki madde dağılımıyla bağıntısı Einstein alan denklemi tarafından belirlenir.
Cümleyi açmak için tanımlar sıralıyacağım ama tabiki de herşeyi anlamak için iyi bir türevsel geometri/türevlenebilir çokkatlılar dersini alman lazım.
Tanım(eğim tensörü, aslında hem de sav ama şuan hiç kanıt yazmak istemiyorum): $(Ç,g)$ üzerinde $R(X,Y)Z=\nabla_{[X,Y]}Z-\nabla_X\nabla_Y Z+\nabla_Y\nabla_X Z$ şartını geçerleyen bir tensör alanı $R$ vardır ve buna $(Ç,g)$'nin eğimi denir.
Tanım(tensör alanı): Bir $Ç$ çokkatlısı üzerinde bir $(r,s)$ cinsinden tensör alanı $T$; bir $\mathcal{F}(Ç)-$çokludoğrusal fonksiyonal $T:\chi^* (Ç)^r \times\chi(Ç)^s\rightarrow \mathcal{F}(Ç)$dir. ($\chi(Ç)$; $Ç$ üzerinde tanımlı olan bütün vektör alanlarının uzayı, $\chi(Ç)^*$ de onun eşleği, $\mathcal{F}(Ç)$ tüm düzgün fonksiyonları içeren uzay). Ayrıca
bkz.Tanım(vektör alanı): $Ç$ düzgün bir çokkatlı olsun. $\pi_Ç\circ X=1\!\!1$'yi sağlayan $X:Ç\rightarrow TÇ$ düzgün göndermesine vektör alanı denir.
Tanım(değiştirge(ingl. commutator) ya da Lie parantezi, son cümle yine kanıtlanması gereken bir sav): $X,Y\in \chi(Ç)$ olsun. O zaman $[X,Y]:\mathcal{F}(Ç)\rightarrow \mathcal{F}(Ç),f\mapsto [X,Y]f:=X(Y(f))-Y(X(f))$; $X$ ve $Y$'nin değiştirgesi diye adlandırılır. $[X,Y]\in\chi(Ç)$.
Tanım(teğet vektör): $Ç$ bir çokkatlı, $p\in Ç$ olsun. $Ç$'nin $p$ noktasındaki bir teğet vektörü aşağıdaki özelliklere sahip gerçel değerli bir fonksiyon olan $v:\mathcal{F}(Ç)\rightarrow \mathbb{R}$'dir:
1)$a\in \mathbb{R}$ olsun. O zaman $\forall f,g\in \mathcal{F}(Ç)$ için $v(af+g)=av(f)+v(g)$ yani $v$ $\mathbb{R}-$doğrusaldır.
2)$v$ Leibniz kuralını sağlar: $\forall f,g\in F(Ç)$ ve $\forall a\in \mathbb{R}$ için $v(fg)=v(f)g(p)+f(p)v(g)$
$p$ noktasındaki $Ç$'nin bütün teğet vektörlerinin kümesi olarak tanımlanan $T_p Ç$'ye $p$'deki teğet uzayı denir.
Tanım(teğet demeti, doğal izdüşüm): $Ç$ düzgün bir çokkatlı, $(U,\Phi)$'de onun bir haritası olsun. $TÇ:=\cup_{p\in Ç}T_p Ç$ kümesi ile $TU:=\cup_{p\in U}T_p Ç$, $T\Phi:TU\rightarrow \Phi(U)\times \mathbb{R}^n$ ve $p=\Phi^{-1}(x^1,...,x^n)$ üzere $T\Phi^{-1}(x^1,...,x^n;v^1,...,v^n)=\displaystyle\sum_{j=1}^n v^j\partial_j(p)$ olarak tanımlanan $(TU,T\Phi)$)haritadan oluşan düzgün çokkatlıya teğet demeti denir.
$\pi_Ç:TÇ\rightarrow Ç,\pi_Ç(v_p)=p$ eğer $vp\in T_p Ç$ ise; diye tanımlanan (ve düzgün olan) göndermeye doğal izdüşüm denir.
Einstein alan denklemini türetmenin farklı yolları var, mesela Lovelock teoremi(enerji korunumu+geometri) ya da her alan kuramında olduğu gibi etki fonksiyonunu $S=S_{kç}+S_m$ bulup
buradaki gibi aşıt ilkesini kullanmak. Ha kütle çekim alanı ve maddenin etki fonksiyonlarını ($S_{kç}=\int R \sqrt{-g}dx$, $S_m=\frac{1}{c}\int \mathcal{L} \sqrt{-g}dx$) ($\mathcal{L}$ Lagrange yoğunluğu kısaca klasik mekanikten tanıdığımız Lagrange fonksiyonu $L$'nin kullanımının devamlı alanlarla uygun hale getirilmesi ${L}=\int \mathcal{L}(x) dx$) ve $T$/$T_{\mu\nu}$) nasıl bulacağım dersen elektrodinamiğinkine benzeyeceği ve birkaç başka varsayım sonrasında çıkması lazım.