Question

$R_{\mu\nu}-\dfrac{1}{2}Rg_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}$ $=\dfrac{8.\pi.G}{c^4}.T_{\mu\nu}$

"aynştayn" 'ın  ünlü alan denklemi olan bu denklemi ,benim gibi amatörlerin anlıyacağı cinsten biraz anlatırmısınız .saygılar

SORU:Bunları daha anlaşılır ve matematiksel açıklayınız.Yani bu adamlar bu denklemleri yaratırken hangi temel denklemlerden yola çıkmışlar ve buraya nasıl ulaşmışlar ulaştıkları bu denklemlerdeki simgelerin sembollerin tam matematiksel anlamları nelerdir?

dipçe:https://www.youtube.com/watch?v=foRPKAKZWx8 bu tarz vidyolar var ama türkçe olanların hepsi populer-bilim vidyoları ben daha çok saf matematigini ögrenmek için ve belki burdan türkçe bir şeyler yaratılabilir diye açtım bu konuyu.

Comments

'fiziksever' bilir bence bu denklemi.

---

hocam sizde nasıl $e^{\pi.i}+1=0$  varsa bizdede bu var:)

---

Biz kimiz, siz kimsiniz? :)

---

ben fizikciyim hocam:D

---

Ben neyim peki?

---

kendini matematik sanatına adamış akademisyenlik yapan bir matematikçisiniz sanırım fizikçide olabilirsiniz çok yakın şeyler:).

---

Yakin ise neden siz biz? 

---

hocam küçük bir latife yapıyım dedim :) .Daha çok abim olarak görüyorum sizi.

---

Karsilikli latifeler... Ben de kardesim olarak goruyorum zaten :)

Answer 1

Einstein alan denklemi, -tam haliyle A. Einstein Annalen der Physik 354, 769-822 (1916) doi:10.1002/andp.19163540702 makalesinde yayınlanan- genel görecelilik kuramının alan denklemidir.

(Benim de şimdi farketiğim) $\Lambda$ kosmolojik sabiti ile olan terim, sonradan denklemi genelleştirmek amacıyla eklenmiş ve vakum enerjisi olarak görülebilirmiş (=evrende hiç madde bulunmadığını farzetiğimizde $\equiv (T_{\mu\nu}=0)\wedge \text{Einstein alan denklemi} \Rightarrow$) $\Lambda=\frac{8\pi G}{c^2}\rho_{vakum}\approx 1,9\cdot 10^{-27}cm/g\cdot\rho_{vakum}$
Vakumun enerji yoğunluğu/'enerjisi' $\rho_{vakum}$; yakın bir zamana kadar sıfır kabul edilirken, yeni gözlemlerden zamana bağlı olduğu  (kara enerji denen şey işte buymuş!) ve günümüzde $\rho_{vakum}\approx5.95\cdot 10^{-30} g/cm^3$ değerini aldığı ölçülmüş.
Bunun dışında denklemde $R$/$R_{\mu\nu}$ eğim tensörü, $G$ ya da $k=6,674\cdot 10^{-8}cm^3g^{-1}s^{-2}$ kütle çekim sabiti, $c$ ışık hızı, $g_{\mu\nu}$ Lorentz metriği ; uzayzaman $(Ç,g)$ ile madde tensör alanları $\Phi_1,\Phi_2,...,\Phi_k$'ları betimleyen enerji-devinirlik tensörünü gösteriyor.

Maddenin farklı farklı betimlenmesi durumu var, ona göre enerji-devinirlik tensörünün tanımı değişiyor:
-Tozlar($\rho$ enerji yoğunluğu)
$T=\rho(X\otimes X)$
-mükemmel sıvılar($p$ basınç):
$T=\rho(X\otimes X+p(g+X\otimes X)$
-elektromanyetik alanlar ($F_{\mu\nu}$ elektromanyetik alan tensörü):
$T_{\mu\nu}=\frac{1}{4\pi}(-F_{\mu\theta}F^{\theta}_\nu+\frac{1}{4}F_{\theta\gamma}F^{\theta\gamma}g_{\mu\nu})$
-dörtlü hıza sahip ($u^\mu=\frac{dx^\mu}{ds}$, $ds=cdt\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$) makroskopik parçacıklar($p$ devinirlik, $\rho$ enerji yoğunluğu)
$T_{\mu\nu}=(p+\epsilon)u_\mu u_\nu-pg_{\mu\nu}-pg_{\mu\nu}$

ama her şekilde simetrik ikinci dereceden bir tensör, bir $X$ gözlemci çerçevesi için $T(X,X)$, $X$'te ölçülen enerji yoğunluğunu veriyor ve enerji korunumunu gözetmek için $\nabla_\mu g^{\mu\theta}T_{\theta\nu}=0$ olması gerekiyor.

Genel görecelilik kuramının tüm içeriği şöyle özetlenebilir:
Uzayzaman; üzerinde bir Lorentz metriği $g_{ab}$ tanımlı olan dörtboyutlu bir çokkatlı $Ç$'dir (bkz.) ve $g_{ab}$'nin eğiminin, uzayzamandaki madde dağılımıyla  bağıntısı Einstein alan denklemi tarafından belirlenir.

Cümleyi açmak için tanımlar sıralıyacağım ama tabiki de herşeyi anlamak için iyi bir türevsel geometri/türevlenebilir çokkatlılar dersini alman lazım.

Tanım(eğim tensörü, aslında hem de sav ama şuan hiç kanıt yazmak istemiyorum): $(Ç,g)$ üzerinde $R(X,Y)Z=\nabla_{[X,Y]}Z-\nabla_X\nabla_Y Z+\nabla_Y\nabla_X Z$ şartını geçerleyen bir tensör alanı $R$ vardır ve buna $(Ç,g)$'nin eğimi denir.

Tanım(tensör alanı): Bir $Ç$ çokkatlısı üzerinde bir $(r,s)$ cinsinden tensör alanı $T$; bir $\mathcal{F}(Ç)-$çokludoğrusal  fonksiyonal $T:\chi^* (Ç)^r \times\chi(Ç)^s\rightarrow \mathcal{F}(Ç)$dir. ($\chi(Ç)$; $Ç$ üzerinde tanımlı olan bütün vektör alanlarının uzayı, $\chi(Ç)^*$ de onun eşleği, $\mathcal{F}(Ç)$ tüm düzgün fonksiyonları içeren uzay). Ayrıca bkz.

Tanım(vektör alanı): $Ç$ düzgün bir çokkatlı olsun. $\pi_Ç\circ X=1\!\!1$'yi sağlayan $X:Ç\rightarrow TÇ$ düzgün göndermesine vektör alanı denir.

Tanım(değiştirge(ingl. commutator) ya da Lie parantezi, son cümle yine kanıtlanması gereken bir sav): $X,Y\in \chi(Ç)$ olsun. O zaman $[X,Y]:\mathcal{F}(Ç)\rightarrow \mathcal{F}(Ç),f\mapsto [X,Y]f:=X(Y(f))-Y(X(f))$; $X$ ve $Y$'nin değiştirgesi diye adlandırılır. $[X,Y]\in\chi(Ç)$.

Tanım(teğet vektör): $Ç$ bir çokkatlı, $p\in Ç$ olsun. $Ç$'nin $p$ noktasındaki bir teğet vektörü aşağıdaki özelliklere sahip gerçel değerli bir fonksiyon olan $v:\mathcal{F}(Ç)\rightarrow \mathbb{R}$'dir:
1)$a\in \mathbb{R}$ olsun. O zaman $\forall f,g\in \mathcal{F}(Ç)$ için $v(af+g)=av(f)+v(g)$ yani $v$ $\mathbb{R}-$doğrusaldır.
2)$v$ Leibniz kuralını sağlar: $\forall f,g\in F(Ç)$ ve $\forall a\in \mathbb{R}$ için $v(fg)=v(f)g(p)+f(p)v(g)$

$p$ noktasındaki $Ç$'nin bütün teğet vektörlerinin kümesi olarak tanımlanan $T_p Ç$'ye $p$'deki teğet uzayı denir.

Tanım(teğet demeti, doğal izdüşüm): $Ç$ düzgün bir çokkatlı, $(U,\Phi)$'de onun bir haritası olsun. $TÇ:=\cup_{p\in Ç}T_p Ç$ kümesi ile $TU:=\cup_{p\in U}T_p Ç$, $T\Phi:TU\rightarrow \Phi(U)\times \mathbb{R}^n$  ve $p=\Phi^{-1}(x^1,...,x^n)$ üzere $T\Phi^{-1}(x^1,...,x^n;v^1,...,v^n)=\displaystyle\sum_{j=1}^n v^j\partial_j(p)$ olarak tanımlanan $(TU,T\Phi)$)haritadan oluşan düzgün çokkatlıya teğet demeti denir.

$\pi_Ç:TÇ\rightarrow Ç,\pi_Ç(v_p)=p$ eğer $vp\in T_p Ç$ ise; diye tanımlanan (ve düzgün olan) göndermeye doğal izdüşüm denir.

Einstein alan denklemini türetmenin farklı yolları var, mesela Lovelock teoremi(enerji korunumu+geometri)  ya da her alan kuramında olduğu gibi etki fonksiyonunu $S=S_{kç}+S_m$  bulup buradaki gibi aşıt ilkesini kullanmak. Ha kütle çekim alanı  ve maddenin etki fonksiyonlarını ($S_{kç}=\int R \sqrt{-g}dx$, $S_m=\frac{1}{c}\int \mathcal{L} \sqrt{-g}dx$) ($\mathcal{L}$ Lagrange yoğunluğu kısaca klasik mekanikten tanıdığımız Lagrange fonksiyonu $L$'nin kullanımının devamlı alanlarla uygun  hale getirilmesi ${L}=\int \mathcal{L}(x) dx$) ve $T$/$T_{\mu\nu}$) nasıl bulacağım dersen elektrodinamiğinkine benzeyeceği ve birkaç başka varsayım sonrasında çıkması lazım.

Comments

Araştırılacak birçok şeyden bahsetmişsiniz ve açıklamalarınız çok iyi, vakit ayırdığınız için teşekkür ederim ,elinize sağlık.

---

hocam bu alan denkleminin kullanımına bir örnek verebilirmiyiz mesela newton ve kepler yerine bu teoriyle merkürün yörüngesini nasıl hesablarız.

---

Yorum olarak sığmadı, cevap olarak ekledim.

Answer 2

Merkürün yörüngesi (1974'e kadar tam hesaplanamamış) gibi ölçümle genel görecelilik kuramı arası karşılaştırmalarda Einstein alan denklemlerinin yaklaştırımı olan değişkenli Newton sonrası kuram denklemi (ingl. parametrized post-Newtonian formalism) kullanılıyor:

$a_a=(a_a)_{öz}+(a_a)_{Newton}+(a_a)_{ncisim}$,

$(a^\mu_a)_{öz}=-m_a^{-1}\left(\frac{1}{2}(\alpha_3+\zeta_1)t_a^\mu+\zeta_1(T^j_a-\frac{3}{2}T_a^{**\mu})+ +\zeta_2\Omega_a^\mu+\zeta_3\mathcal{E}^\mu_a+3\zeta_4\mathcal{P}^\mu_a\right)$

$-m_a^{-1}\alpha_3(w+v_a)^\nu H^{\nu\mu}_a$

$(a_a^\mu)_{Newton}=m_a^{-1}(m_p)_a^{\mu\nu}\mathcal{U}_{,\nu}$(burada virgül damgası çok önemli)

$(a_a^\mu)_{ncisim}=\displaystyle\sum_{b\neq a}\frac{m_b x_{ab}^\mu}{r_{ab}^3}[(2\gamma+2\beta )$ $\frac{m_b}{r_{ab}}+(2\gamma+2\beta+1+\frac{1}{2}\alpha_1-\zeta_2)\frac{m_a}{r_{ab}}$ $+(2\beta-1-2\xi-\zeta_2)\displaystyle\sum_{c\neq ab}\frac{m_c}{r_{bc}}+(2\gamma+2\beta-2\xi)\displaystyle\sum_{c\neq ab}\frac{m_c}{r_{ac}}$ $-\frac{1}{2}(1+2\xi+\alpha_2-\zeta_1)\displaystyle\sum_{c\neq ab}m_c\frac{x_{ab}\cdot x_{bc}}{r_{bc}^3}-\xi\displaystyle\sum_{c\neq bc}m_c\frac{x_{bc}\cdot x_{ac}}{r_{ac}^3}$

$-\gamma v_a^2+\frac{1}{2}(4\gamma+4+\alpha_1)v_a\cdot v_b-\frac{1}{2}(2\gamma+2+\alpha_2+\alpha_3)v_b^2$

$+\frac{1}{2}(\alpha_1-\alpha_2-\alpha_3)w^2+\frac{1}{2}\alpha_1w\cdot v_a+\frac{1}{2}(\alpha_1-2\alpha_2-3\alpha_3)w\cdot v_b$

$\frac{3}{2}(1+\alpha_2)(v_b\cdot\hat{n}_{ab})^2+\frac{3}{2}\alpha_2(w\cdot \hat{n}_{ab})^2+3\alpha_2(w\cdot \hat{n}_{ab})^2+3\alpha_2(w\cdot \hat{n}_{ab})(v_b\cdot \hat{n}_{ab})]$

$-\frac{1}{2}(4\gamma+3-2\xi+\alpha_1-\alpha_2+\zeta_1)\displaystyle\sum_{b\neq a}\frac{m_b}{r_{ab}}\displaystyle\sum_{c\neq ab}\frac{m_cx_{bc}^\mu}{r^3_{bc}}$

$-\xi\displaystyle\sum_{b\neq a}\frac{m_b}{r_{ab}^3}x_{ab}\cdot[(2\gamma+2)v_a-(2\gamma+1)v_b]v_a^\mu$

$-\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{b\neq a}\frac{m_b}{r_{ab}^3}x_{ab}\cdot [(4\gamma+4+\alpha_1)v_a-(4\gamma+2+\alpha_1-2\alpha_2)v_b+2\alpha_2 w]v_b^\mu$

$-\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{b\neq a}\frac{m_b}{r_{ab}^3}x_{ab}\cdot[\alpha_1v_a-(\alpha_1-2\alpha_2)v_b+2\alpha_2w]w^\mu$

Denklemin anlamı, türetilmesi ve ondan merkürün perihelion kaymasının hesaplanışı için Clifford M. Will, Theory and Experiment in Gravitational Physics,Cambridge University Press (1993) adlı kitaba bakılabilir (ama bence daha bakma önce bi' lisans derslerini iyice bir anla, sonra genel görecelilik ve ilgili matematiği öğren, sonra bak).

Comments

çok teşekkür ederim hocam tavsiyeleriniz için ve emeğiniz ve mütevaziliğiniz için saygılar sunarım.