Olimpiyat sorusu A-4

Question

$0\leq n <840$  koşulunu sağlayan kaç tam sayı için ,$n^8-n^4+n-1$ sayısı 840 ile bölünür.

Comments

cevap: 2tane

Answer 1

$840=3\cdot5\cdot7\cdot8$ oldugundan bu aralarinda asal carpanlarla ilgilenelim.

$$n^8-n^4+n-1 \equiv 1-1+n-1=n-1 \mod 3$$ $$n^8-n^4+n-1 \equiv 1-1+n-1=n-1 \mod 5$$ $$n^8-n^4+n-1 \equiv 1-1+n-1=n-1 \mod 8$$ ve son olarak  $$n^8-n^4+n-1 \equiv n^2-n^4+n-1=(n-1)(n-3)(n^2+4n+5) \mod 7$$ olur. 

Kullandigimiz eger $(n,a)=1$ ise $a^{\phi(n)}\equiv 1 \mod n$ ya degilseyi gormek kolay. Bu sekilde Cin kalan teoremi ile $$1\cdot1\cdot1\cdot2$$ cozum olmasi gerektigini gostermis oluyoruz.

Comments

elinize saglik..