iki tek sayinin kareleri toplami

2 beğenilme 0 beğenilmeme
227 kez görüntülendi

iki tek sayinin kareleri toplami bir tam kare olailir mi?

18, Mart, 2016 Orta Öğretim Matematik kategorisinde Sercan (23,218 puan) tarafından  soruldu

güzel sorular hocam devamını bekliyorum:)

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

İki tek sayının kareleri toplamı 2 ile bölünür ama 4 ile bölünemeyeceğinden  tam kare olamaz.

18, Mart, 2016 eynesi (648 puan) tarafından  cevaplandı

daha matematiksel olursak k,n $\in\mathbb{Z_{+}}$ ve  $a$ tek tam sayı olsun  $(2k-a)$ tek sayı ve $(2n-a)$ tek sayı olur  bunların karelerinin toplamları ise ne olur görelim

$(2k-a)^2$+$(2n-a)^2$=$4k^2-4ka+a^2+4n^2-4na+a^2=4(k^2+n^2-na-ka)+2a^2$  olur ve görülürki eğer tek sayıların karelerinin toplamı tam kare etse idi herhangi  2n sayısının karesi gibi olucaktı yani 4n^2 ve rahatlıkla 4 e tam bölünebilecekti ama bizim ifademiz 4e kesinlikle bölünemez.
"iki tek sayinin kareleri toplami bir tam kare değildir."

Foton yiyen, senin ek olarak tum tek sayilari da bu sekilde yazacagindan bahsetmen lazim, pek onemli olmasa da temel bir ispat icin onemli.

eynesi, cevabin dogru olmasina ragmen acik degil. Biraz detaylandirman ve matematiksel olarak sebeplerini yazabilmen mumkun mu?

aynen hocam ispatımın en genel olması ıçın tek sayılar kümesini tanımlamalıyım ispatıma ek olarak  en üste şoyle yazarsak tamamen ıspatlanır elementer olarak.Doğal sayıları $\mathbb{N}=(x:x\in\mathbb{N})$   ve  Tek sayılar kümesi doğal sayılarda tanımlandıgından  ve çift sayılarıda $\mathbb{N}_{çift}=(2x:x\in\mathbb{N})$ $2\mathbb{N}={0,2,4,6,8,10.....}$ olarak tanımladıgından tek sayılar kümesine$\mathbb{N}_{tek}$ dersem $\mathbb{N}_{tek}=(2x-1:x\in\mathbb{N})$  $\mathbb{N}_{tek}={1,3,5,7,9,11,13,15.........}$ olur yani x yerine doğal sayılardan olan n ve k doğal sayılarını alıp  herhangi bir 2n-1 ve 2k-1 tek sayılarını yaratabiliriz .....

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Klasik bir cozumunun yanisira bu sorudaki sonucu kullanalim: $n$ tek ise $n^2-1$ sayisi $8$'e bolunur.

Tek sayilarimiz $n$ ve $m$ olsun. Bu durumda $(n^2-1)+(m^2-1)=n^2+m^2-2$ sayisi $8$'e bolunur. Bu da $n^2+m^2\equiv 2 \mod 8$ demek. $2$'ye bolunmesine ragmen $4$'e bolunmuyor. Bu da bir tam kare olamayacagi anlamina geliyor.

18, Mart, 2016 Sercan (23,218 puan) tarafından  cevaplandı
...