Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
4 beğenilme 0 beğenilmeme
3.5k kez görüntülendi

f(x0)=y0f1(y0)=x0ddx(f1)(y0)=1f(x0)


her ters fonksiyonun diferansiyelinin bu formülle açıklanmasını nasıl ispatlarız yani bunu nasıl formulize etmişler yeniden nasıl üretebiliriz. teşekkürler saygılar

Lisans Matematik kategorisinde (7.9k puan) tarafından  | 3.5k kez görüntülendi

3 Cevaplar

3 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

Bunun güzel bir geometrik mantığı var.

y=f(x) in (a,b) deki teğetinin eğimi m0 olsun.

y=f1(x) eğrisi, y=f(x) eğrisinin y=x doğrusuna göre yansıması olduğuna göre, onun (b,a) daki teğeti de y=f(x) in (a,b) deki teğetinin y=x doğrusuna göre yansıması olacaktır.

Ama, y=x doğrusuna göre yansıma, bir doğrunun eğimini, (0, durumları dışında) çarpmaya göre tersine çevirir( nedeni çok basit, bulabilirsin)

Öyleyse (f1)(b)=1f(a) "ispatlanmış" olur.


(6.2k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş

çok teşekkür ederim

2 beğenilme 0 beğenilmeme

Teorem: AR küme, f:AR bijektif bir fonksiyon, x0AD(A)f, x0'da türevlenebilir, f(x0)0 ve f(x0)=y0 olmak üzere

(f1)(y0)=1f(x0)

İspat için ipucu:

1) f bijektif(f(x0)=y0x0=f1(y0))

2) xAf(f1(x))=x

3) Zincir Kuralı

(11.5k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

Bir itirazım var:

Bu adımlar, f1 TÜREVLENİRSE

 (f1)(y0)=1f(x0) 

olduğunu ispatlar.

 f1 in y0 da türevlenebildiğini ispatlamaya yetmez.

Haklısınız. Dersten sonra düzeltirim.

f:[a,b]R fonksiyonu türevlenebilir ve bijektif olsun. Bijektif olduğu için y0R ise f(x0)=y0 olacak şekilde en az bir tane x0[a,b] vardır. f(x0)0 olsun. Türevlenebilir olduğu için f fonksiyonu tanım kümesinin her noktasında süreklidir. O halde xx0 ise f(x)f(x0)=y0 olacaktır. Buradan da

(f1)(y0)=limyy0f1(y)f1(y0)yy0=limyy0f1(f(x))f1(f(x0))f(x)f(x0)=limxx0xx0f(x)f(x0)=1f(x0) bulunur.

Hocam, son satırın en solundaki (f1)(y0) olacak herhalde.

Haklısınız hocam. Düzelttim. Teşekkür ederim.

Burada, bir de, yy0 iken xx0 olduğunu (limitte değişken değişikliği yaparken)  kullanıyoruz. 

O da, bir aralıkta sürekli ve 1-1 fonksiyonların tersinin de sürekli olması ile sağlanıyor.

1 beğenilme 0 beğenilmeme

f ve  f1 türevlenebilsin,

f1f=x  oldugundan hertarafın türevini zincir kuralına göre alırsak;

[ddx(f1)(f(x))]f(x)=1

dolayısıyla;

ddx(f1)(y)=1f(x)

(7.9k puan) tarafından 
20,296 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,723,903 kullanıcı