Ters fonksiyonların diferansiyelinin formülizasyonu

4 beğenilme 0 beğenilmeme
117 kez görüntülendi

$f\left( x_{0}\right) =y_{0}\Leftrightarrow f^{-1}\left( y_{0}\right) =x_{0} \\\dfrac {d} {dx}\left( f^{-1}\right) \left( y_{0}\right) =\dfrac {1} {f'\left( x_{0}\right) }$


her ters fonksiyonun diferansiyelinin bu formülle açıklanmasını nasıl ispatlarız yani bunu nasıl formulize etmişler yeniden nasıl üretebiliriz. teşekkürler saygılar

6, Mart, 2016 Lisans Matematik kategorisinde Anıl Berkcan Türker (6,631 puan) tarafından  soruldu

3 Cevaplar

3 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

Bunun güzel bir geometrik mantığı var.

$y=f(x)$ in $(a,b)$ deki teğetinin eğimi $m\neq0$ olsun.

$y=f^{-1}(x)$ eğrisi, $y=f(x)$ eğrisinin $y=x$ doğrusuna göre yansıması olduğuna göre, onun $(b,a)$ daki teğeti de $y=f(x)$ in $(a,b)$ deki teğetinin $y=x$ doğrusuna göre yansıması olacaktır.

Ama, $y=x$ doğrusuna göre yansıma, bir doğrunun eğimini, ($0,\infty$ durumları dışında) çarpmaya göre tersine çevirir( nedeni çok basit, bulabilirsin)

Öyleyse $(f^{-1})' (b)=\frac1{f'(a)}$ "ispatlanmış" olur.


7, Mart, 2016 DoganDonmez (3,282 puan) tarafından  cevaplandı
7, Mart, 2016 Anıl Berkcan Türker tarafından seçilmiş

çok teşekkür ederim

2 beğenilme 0 beğenilmeme

Teorem: $A\subseteq\mathbb{R}$ küme, $f:A\to\mathbb{R}$ bijektif bir fonksiyon, $x_0\in A\cap D(A)$; $f$, $x_0$'da türevlenebilir, $f'(x_0)\neq 0$ ve $f(x_0)=y_0$ olmak üzere

$$(f^{-1})'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}$$

İspat için ipucu:

$1)$ $f \text{ bijektif}\Rightarrow (f(x_0)=y_0\Leftrightarrow x_0=f^{-1}(y_0))$

$2)$ $x\in A\Rightarrow f(f^{-1}(x))=x$

$3)$ $\text{Zincir Kuralı}$

7, Mart, 2016 murad.ozkoc (8,024 puan) tarafından  cevaplandı
30, Kasım, 2016 murad.ozkoc tarafından düzenlendi

Bir itirazım var:

Bu adımlar, $f^{-1}$ TÜREVLENİRSE

 $\left(f^{-1}\right)'(y_0)=\frac1{f'(x_0)}$ 

olduğunu ispatlar.

 $f^{-1}$ in $y_0$ da türevlenebildiğini ispatlamaya yetmez.

Haklısınız. Dersten sonra düzeltirim.

murad bey cevabınız için teşekkürler ama bendede tam oturmadı cevap

$f:[a,b]\to\mathbb{R}$ fonksiyonu türevlenebilir ve bijektif olsun. Bijektif olduğu için $y_0\in\mathbb{R}$ ise $f(x_0)=y_0$ olacak şekilde en az bir tane $x_0\in [a,b]$ vardır. $f'(x_0)\neq 0$ olsun. Türevlenebilir olduğu için $f$ fonksiyonu tanım kümesinin her noktasında süreklidir. O halde $$x\to x_0$$ ise $$f(x)\to f(x_0)=y_0$$ olacaktır. Buradan da

$$(f^{-1})'(y_0)=\lim\limits_{y\to y_0}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}=\lim\limits_{y\to y_0}\frac{f^{-1}(f(x))-f^{-1}(f(x_0))}{f(x)-f(x_0)}$$$$=$$$$\lim\limits_{x\to x_0}\frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}=\frac{1}{f'(x_0)}$$ bulunur.

Hocam, son satırın en solundaki $(f^{-1})'(y_0)$ olacak herhalde.

Haklısınız hocam. Düzelttim. Teşekkür ederim.

Burada, bir de, $y\to y_0$ iken $x\to x_0$ olduğunu (limitte değişken değişikliği yaparken)  kullanıyoruz. 

O da, bir aralıkta sürekli ve 1-1 fonksiyonların tersinin de sürekli olması ile sağlanıyor.

1 beğenilme 0 beğenilmeme

$f$ ve  $f^{-1}$ türevlenebilsin,

$f^{-1}\circ f=x$  oldugundan hertarafın türevini zincir kuralına göre alırsak;

$$\left[\dfrac{d}{dx}\left(f^{-1}\right)\circ(f(x))\right]f'(x)=1$$

dolayısıyla;

$$\boxed{\dfrac{d}{dx}\left(f^{-1}\right)(y)=\dfrac{1}{f'(x)}}$$

15, Ocak, 15 Anıl Berkcan Türker (6,631 puan) tarafından  cevaplandı
...