$\displaystyle\int_0^1 x^{-x}\,dx$ ve $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty n^{-n}$

3 beğenilme 0 beğenilmeme
95 kez görüntülendi

$$\begin{align}\int_0^1 x^{-x}\,dx &= \sum_{n=1}^\infty n^{-n}\end{align}$$ esitligi dogru mu? Dogru ise ispatlayiniz.

28, Şubat, 2016 Ö-Lisans Matematik kategorisinde Sercan (22,324 puan) tarafından  soruldu
20, Aralık, 2016 Anıl tarafından yeniden kategorilendirildi

Bu esitligin ozel bir ismi de var.

bilmem gerekiyorsa bileyim hocam :D yapmam gerekiyorsa yapayım,yönlendirme var mıdır?

yok, kendin calisarak bul :)

Bu soruyu &quot;65&quot; puan olarak ödüllü ilan ediyorum. <br><br>İstek: Mantık ve açıklamalarıyla lütfen.

Çözümü yazdım ama konunun ismini "ra" verdiği için puanı ona veriyorum.

Puan cevap sahibini verilmeli degil mi, sn. admin bey?

Anıl burada bir emek söz konusu çözüm sizin puan sizin olmalı . Sercanın söylediği gibi . 

1 cevap

3 beğenilme 0 beğenilmeme

$e^x=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \dfrac{x^n}{n!}$ olduğundan

$x^{-x}=e^{-xlnx}=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^n(x)^n(lnx)^n}{n!}$  olur ve dolayısıyla;

$\displaystyle\int_0^1 x^{-x} dx=\displaystyle\int_0^1 \left(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^n(x)^n(lnx)^n}{n!}\right)dx$

uygun yakınsaklık teoreminden dolayı (uniformly convergence)  integrali içeri atabilirim. $^{^{soru\;1}}$

$\displaystyle\int_0^1 x^{-x}dx= \displaystyle\sum_{n=0}^\infty \left(\displaystyle\int_0^1 \dfrac{(-1)^n(x)^n(lnx)^n}{n!}dx\right)$


$e^{^{\frac{-u}{n+1}}}=x$ dönüşümü yaparsak;

$= \displaystyle\sum_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^{2n+1}(n+1)^{-n-1}}{n!} \left(\displaystyle\int_\infty^0 u^n e^{-u}du\right)= \displaystyle\sum_{n=0}^\infty \dfrac{(n+1)^{-n-1}}{n!} \left(\displaystyle\int_0^\infty u^n e^{-u}du\right)$

$\Gamma(n)=\displaystyle\int_0^\infty u^{n-1} e^{-u} du$    ve    $\Gamma(n+1)=\displaystyle\int_0^\infty u^{n} e^{-u} du=n\Gamma(n)=n!$ olduğundan;

$\boxed{\boxed{\displaystyle\int_0^1 x^{-x}dx=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \dfrac{(n+1)^{-n-1}}{n!} \underbrace{\left(\displaystyle\int_0^\infty u^n e^{-u}du\right)}_{n!}=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty (n+1)^{-n-1}=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty n^{-n}}}$

Ve aynı sonuçlar için;


$\boxed{\boxed{\displaystyle\int_0^1 x^xdx=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}n^{-n}=-\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (-n)^{-n}}}$


Sonucu da çıkar.



31, Aralık, 2016 Anıl (6,893 puan) tarafından  cevaplandı

Soru 1: Uniformly convergence diye içeri dağıtabilmemin asıl nedeni nedir?

Cevabi en iyi secme sebebinizi anlamadim?

ödüllü kategorısınde, dogru cevaba ek bır de puanı odullu ılan etme cevabı oldugundan, sorunun cozuldugunu, soru lıstesınde gostermek ıcın en ıyı secmıstım .

...