$u_t + au_x = 0$ için Verilen Şemanın Kararlılığı

Question

Kısmi diferansiyel denklemler için sonlu fark metotları ile ilgili bir sorum var. Sorum şu şekilde:

 $u_t + a u_x = 0$ denklemi için

$$\frac{v_m^{n+1} - v_m^n}{k} + \frac{a}{2}(\frac{v_{m+1}^{n+1} - v_m^{n+1}}{h} + \frac{v_m^n - v_{m-1}^n}{h}) = 0$$

şemasını $v_m^{n+1} + v_m^n$ ile çarpıp $m$ üzerinden toplayarak

$$\sum_{m = -\infty}^\infty [(1 - \frac{a \lambda}{2}) |v_m^{n+1}|^2 + \frac{a \lambda}{2} v_m^{n+1} v_{m+1}^{n+1}] = \sum_{m = -\infty}^\infty [(1 - \frac{a \lambda}{2}) |v_m^n|^2 + \frac{a \lambda}{2} v_m^n v_{m+1}^n]$$

eşitliğini elde ediniz. Buradan $a\lambda < 1$ için şemanın kararlı olduğunu gösteriniz.

Burada $\lambda = \frac{k}{h}$ olmak üzere, $k$ ve $h$ sırasıyla zamansal ve uzaysal grid uzunluklarıdır.

$v_m^{n+1} + v_m^n$ ile çarpıp $m$ üzerinden toplam alarak ikinci eşitliği elde ettim. Burada bir sorun yok. Fakat ikinci eşitlikten, verilen $a \lambda < 1$ koşulu altında stability ye geçemedim. Eğer çözen olursa, çözümü paylaşmadan sadece yol gösterici ipuçlarını paylaşırsa memnun olurum.

Teşekkürler.