Sonsuz bir seri hesaplama

8 beğenilme 0 beğenilmeme
640 kez görüntülendi


$$\sum_{n,m=1}^\infty \frac{1}{(1+nm)^2}=?$$

Not: $$\forall m, n \in {\mathbb Z}_{>0}, \quad \frac{1}{(1+nm)^2}< \frac{1}{(nm)^2}\implies \sum_{n,m=1}^\infty \frac{1}{(1+nm)^2}< \sum_{n,m=1}^\infty \frac{1}{(nm)^2}=\zeta(2)^2$$


7, Şubat, 2015 Akademik Matematik kategorisinde Muhammed Uludag (203 puan) tarafından  soruldu
14, Nisan, 2015 Muhammed Uludag tarafından düzenlendi

Bu toplam, bir transfer operatörünün bir sıfır noktasındaki değeridir. Toplamın ne olduğu hakkında bir bilgim yok. Sadece Riemann zeta değerinin bir benzeri olduğunu söyleyebilirim.

1 cevap

3 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

ilk olarak $$\sum\limits_{m,n\geq 1}\frac{1}{(1+mn)^2} = \sum_{k\geq 1}\frac{b(k)}{(k+1)^2}=\frac{1}{4}+\sum\limits_{k\geq 2}b(k)\bigg(\frac{1}{k^2}-\frac{2}{k^3}+\frac{3}{k^4}-\cdots\bigg)$$burda $b(k)$ dedigimiz $k$ sayisinin bolenlerinin sayisi. Ayrica$$ \sum_{k \geq 2}\frac{b(k)}{k^r} = -1+\sum_{k\geq 1}\frac{(1*1)(k)}{k^r} = -1+\zeta(r)^2 $$ oldugundan toplamimiz da $$\sum_{m,n\geq 1}\frac{1}{(1+mn)^2}=\frac{1}{4}+\sum_{r\geq 2}(-1)^r(r-1)\left(\zeta(r)^2-1\right)$$ olur.

13, Temmuz, 2015 Sercan (23,218 puan) tarafından  cevaplandı
13, Temmuz, 2015 Muhammed Uludag tarafından seçilmiş
Bu toplamı Maple'da mı hesapladınız Sercan Bey?

Maple bu toplami bu sekilde hesaplayabiliyorsa ogreneyim hemen.

Maple'da hesapladım ve yukarıdaki sonucu (sizin bulduğunuz sonucu) buldum diyenler var. Merakım ondandır!

Yok, kullanmadim.

image

Test edildi..

image

Daha iyisi..

Matematica mı bu?

............evet......

...