Önce birim elemanı bulmalıyız. $(x,y)$ birim eleman olsun. O zaman;
$(a,b)*(x,y)=(a,b)$ ve $(x,y)*(a,b)=(a,b)$ olmalıdır.
Önce $(a,b)*(x,y)=(a,b)\Rightarrow (a+x-4,\frac{by}{2})=(a,b)\Rightarrow x=4,y=2)$ bulunur.
Aynı şekilde $(x,y)*(a,b)=(a,b)\Rightarrow (x+a-4,\frac{by}{2})=(a,b)\Rightarrow x=4,y=2)$ bulunur. Demek ki bu işlemin birimi $(4,2)$ sıralı ikilisidir. Şimdi $(3,1)$ in tersini bulalım.
$(3,1)*(m,n)=(4,2)\Rightarrow (3+m-4,\frac{1.n}{2})=(4,2)\Rightarrow m=5,n=4$ olarak bulunur.
NOT: yazım kolaylığı olsun diye işlemi * olarak kullandım.