$1, - 2, 25, -218, ....$ dizisinin genel terimi nedir? Bu aslinda dogru bir soru degil. Cunku birazdan gosterecegimiz gibi bir tane degil, sonsuz coklukta oruntu bulabilirsin bu dort terimle baslayan. Zaten obur turlu olsaydi, sacma olurdu. Ben sana dort tane sayi soylesem, soyleyecegim besinci sayinin ne oldugunu bilemezsin; ancak tahmin edebilirsin. Soruyu soran kisi genel terimi nedir? degil de ne olabilir demek istemistir buyuk ihtimalle.
Simdi sana dort tane oruntu tanimlayacagim: $a_n, b_n, c_n, d_n$ (ki aslinda hepsini ayni mantikla tanimlayacagim). Sonra, bu oruntuleri birlestirip bir $f_n$ oruntusu tanimlayacagim.
$$a_n = 1 \times \frac{(n - 2)(n-3)(n - 4)}{(-1) \times (-2) \times (-3)}; \\b_n = (-2) \times \frac{ 1)(n-3)(n - 4)}{1 \times (-1) \times (-2)} ;\\ c_n = 25 \times \frac{(n - 1)(n-2)(n - 4)}{2 \times 1 \times (-1)}; \\ d_n = (-218) \times \frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{3 \times 2 \times 1}$$
Simdi teker teker bu dizilerin nasil basladigina bakalim:
$a_n$ oruntusu $1, 0, 0 , 0 , \ldots$ diye basliyor.
$b_n$ oruntusu $0, -2, 0 , 0 , \ldots$ diye basliyor.
$c_n$ oruntusu $0, 0, 25 , 0 , \ldots$ diye basliyor.
$d_n$ oruntusu $0, 0, 0 , -218 , \ldots$ diye basliyor.
Simdi $f_n $ oruntusunu $$f_n = a_n + b_n + c_n + d_n$$ olarak tanimla. $f_n$ oruntusu soyle basliyor: $1, -2, 25, -218 \ldots$. Yani senin istedigin baslangici verebilecek bir genel terim. Islemleri kontrol et.
Ama is burada bitmiyor. Simdi, istedigin herhangi bir $t_n$ oruntusu al. Hangi oruntuyu istersen alabilirsin, farketmez. Su kuralla verilen $s_n$ oruntusunu olustur:
$$s_n = (n-1) (n-2)(n-3)(n-4) t_n$$
Simdi, $$f_n + s_n = a_n + b_n + c_n + d_n + s_n$$ oruntusune bak. Bu oruntu de senin istedigin dort sayiyla olusuyor. Kontrol et.
Bu da gosteriyor ki canin hangi $t_n$ oruntusunu cekerse ceksin, hangi $t_n$ oruntusunu alirsan al $f_n + t_n$ oruntusu senin istedigin $4$ sayiyla baslar. $t_n$ icin sinirsiz sayida secenek oldugu icin de senin istedigin dort terimle baslayan sinirsiz sayida oruntu vardir.
Anladigim kadariyla iddiaya girmeyi seven bir hocaniz var. Eger sov yapmak istersen soyle yapabilirsin sinifta: Siniftaki herkesten teker teker bir numara al. Sirayla sen bir sayi soyle, sen bir sayi soyle, sen bir sayi soyle de... Atiyorum sinifta bes kisi var ve bu bes kisi $8, 654, 78, 45. 203$ sayilarini soyledi. Sonra hocana "hocam siz de bir sayi soyleyin" de. Atiyorum o da $465$ dedi. $t_n$ oruntusunu soyle sec: $(8n + 654n^2 + 78 n^3 + 45 n^4 + 203 n^5)^{465} $. Sonra da yukarida yazdigim gibi $f_n + t_n$'i yaz (hatta daha karizmatik olsun once $t_n$ ile su sekilde basla:)
$(8n + 654n^2 + 78 n^3 + 45 n^4 + 203 n^5)^{465}(n-1)(n-2)(n-3)(n-4))$
$ + 1 \times \frac{(n - 2)(n-3)(n - 4)}{(-1)}$
$-2 \times \frac{(n- 1)(n-3)(n - 4)}{1 \times (-1) \times (-2)}$
$ + 25 \times \frac{(n - 1)(n-2)(n - 4)}{2 \times 1 \times (-1)}$
$ -218 \times \frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{3 \times 2 \times 1}$
yer olmadigi icin yazamadim ama bunlarin hepsini yanyana yaz. Sonra hocana don ve de ki: Hocam bu genel terimle verilen oruntunun ilk dort terimini bulur musunuz?
Dikkat edersen $1, -2, 25, -218$ sayilarini hic kullanmadim. Hangi dort sayiyla baslarsan basla bu yontemi uygulayabilirsin. Hatta dort olmasina da gerek yok, isterse sana bir milyon terim versin. Ayni seyi yine yapabilirsin.