Eliptik egri uzerinde ozyapi donusumu ornegi

Question

$p$ bir asal sayi oyle ki $p \equiv 1 \mod 4$ ve $a \in \mathbb{F}_p$ sifir olmayan bir eleman olsun. $E:y^2=x^3+ax$ eliptik egrisi $\mathbb{F}_p$ uzerinde tanimli olsun, $\beta \in \mathbb{F}_p$ da mertebesi $4$ olan bir eleman olsun,.

Gosteriniz: $\phi(x,y)=(-x, \beta y)$ fonksiyonu bir $E$'nin bir ozyapi donusumudur (endomorphism) ve $\phi^2+I=0$.

Answer 1

1) $\beta^2=-1$ oldugundan $$(\beta y)^2=-y^2=-(x^3+ax)=(-x)^3+a(-x).$$ Yani $\phi$ bir ozyapi donusumu.

2) $\phi(\phi(x,y))=\phi(-x,\beta y)=(x,-y)=-(x,y)$ oldugundan $\phi^2+I=0$.