Türev

Question

$f(x)=\sqrt{x}-1$ ve $g(x)=x^2+2x+1$ fonksiyonları arasındaki en kısa mesafe kaç birimdir?

Comments

Hocam egimlerini birbirine esitleyince 4. dereceden bir denklem geldi ama kökünü bulamadim.

---

Seçeneklerde $ \sqrt {17 } $ var mı?

---

Emel, neden eğimlerini eşitledin?

---

Seçenekler.

$A-)1$

$B-)\frac{1}{2}$

$C-)\sqrt{2}$

$D-)\frac{3\sqrt{2}}{4}$

$E-)2$ şeklinde hocam.

---

dexor, fonksiyonlar aslinda ayni biri $x$'e gore digeri $y$'ye gore (pozitif kisimda yani asil ilgilenmemiz gerektigi kisimda) $\sqrt{x}-1$ ve $\sqrt y -1$. Kisacasi simetri ekseni de haliyle $y=x$. Bu isleri kolaylastirir. 

Soruyu kim sordu bilmiyorum ama buna gore ise hos bir soru olmus. 

ilgili diger arkadaslar bu yontemi de dusunebilirler.

---

Hocam çok doğru,ben bunu göremedim.Soruyu çözdüm şimdi cevap $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ geliyor.Ayrıca soru karekök LYS matematik kitabından.Ay

---

Sercan hocam suradan aklima geldi; bir parabol ile dogrunun arasındaki en kısa mesafeyi bulurken parabole teğet ve aynı zamanda doğruya paralel bi dogru oldugunu dusunuyorduk ki eğimleri eşit olsun, sonrasında  parabolden bir degme noktasi seciyoruz ve paralel doğrular olduğundan eğimleri de eşit oluyordu ve noktanın doğruya olan uzaklıgini hesaplayarak en kısa mesafeyi buluyorduk. Tam olarak cümleye dokemedim ama anladiniz sanirim.

Ama soruda bu yolu dogru uygulayamadim  ya da bu yol dogru degil :)

---

Emel, her zaman dogru degil bu yaklasim, ki dogru ile parabol icin de ispatlanmasi gerekiyor. Bu soruda bunu aciklamaya calismistim, bakabilirsin.

---

Tamam hocam bakacagim tesekkurler.

Answer 1

$x\geq-1$ icin $y=(x+1)^2$ ve $x \geq 0$ icin $y=\sqrt x-1$ egrileri $x=y$ egrisine gore simetrikler. Bu simetri dolayisiyla istenen $y=(x+1)^2$ parabolunun $x=y$ dogrusuna uzakliginin iki kati.

Asagida parabolun dogruya en yakin mesafesi inceleyecegiz: (Bunun icin bu linke bakabilirsiniz).

1) $y=(x+1)^2$ icin $y'=2(x+1)$.
2) $y'=1$ olmasi icin $x=-1/2$ olmali. Bu durumda $y=1/4$ olur.
3) $(-1/2,1/4)$ noktasinin $x-y=0$ dogrusuna olan uzakligi $\frac{|(-1/2)-1/4|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{3}{4\sqrt2}$.

Demek ki istenen mesafe $2\times \frac{3\sqrt2}{8}=\frac{3\sqrt2}{4}$.


Ek soru: Parabolum neden $x<-1$ kismi ile ilgilenmedik. Bunu gormek ve gostermek zor degil. Fakat gormek ve gostermek onemli.