$11$ ile bölünebilme ya da diğer bazı bölünebilme kuralları nasıl elde edilmektedir?
$a,b\in \Bbb{Z}$ ve $p$ bir asal sayı olmak üzere eğer $a\equiv b (mod p)$ ise $\forall k\in \Bbb{Z}^{+}$ için $a^{k} \equiv b^{k}(mod p)$ şeklindedir.(Bunu görmek zor değil. Şöyle ki; $(a^{k}-b^{k})=(a-b)(a^{k-1}+a^{k-2}b+\ldots+ b^{k-1})$ eşitliğinden hemen çıkmakta.)
Gelelim $11$ ile bölünebilmeye. $10\equiv -1(mod 11)$. Neden $10$ çünkü verilen sayıyı $10$'luk tabana göre açacağız. $n=(a_{m}a_{m-1}\ldots a_{2}a_{1}a_{0})_{10}$ verilsin. Yukarıdaki ifadeden $n=a_{0}10^{0}+a_{1}10^{1}+a_{2}10^{2}+\ldots+ a_{m}10^{m}$ şeklinde açılır. Şimdi $11$ moduna geçelim. $n\equiv a_{0}(-1)^{0}+a_{1}(-1)^{1}+a_{2}(-1)^{2}+\ldots+a_{m}(-1)^{m}$.
Yani böyle. Soruda $acbabc$'nin neden basamaklarını bir artı bir eksi yazıp topladığımız. Sonuç $0$ ve $0=11.0$ olduğundan $11\mid 0$.
Diğer bölünebilme kurallarıda benzer şekilde elde edilmekte.