Teorem 1. $(X,\tau)$ topolojik uzay ve $A\subseteq X$ olmak üzere
$$\overline{\overline{A}^{\circ}}^{\circ}=\overline{A}^{\circ}.$$
Kanıt: $A\subseteq X$ olsun.
$\left.\begin{array}{rr} A\subseteq X\Rightarrow \overline{A}^{\circ}\subseteq \overline{\overline{A}^{\circ}}\Rightarrow\overline{A}^{\circ}={\overline{A}^{\circ}}^{\circ}\subseteq {\overline{\overline{A}^{\circ}}}^{\circ} \\ \\ A\subseteq X\Rightarrow \overline{A}^{\circ}\subseteq \overline{A}\Rightarrow \overline{\overline{A}^{\circ}}\subseteq \overline{\overline{A}}=\overline{A} \Rightarrow {\overline{\overline{A}^{\circ}}}^{\circ}\subseteq \overline{A}^{\circ} \end{array}\right\}\Rightarrow {\overline{\overline{A}^{\circ}}}^{\circ}=\overline{A}^{\circ} $
$-----------------------------------$
Teorem 2. $(X,\tau)$ topolojik uzay ve $A\subseteq X$ olmak üzere
$\mathbf{a)}$ $\setminus \left(\overline{A}\right)=(\setminus A)^{\circ},$
$\mathbf{b)}$ $\setminus \left(A^{\circ}\right)=\overline{(\setminus A)}.$
Kanıt:
$\mathbf{a)}$ $A\subseteq X$ olsun.
$x\in\setminus \left(\overline{A}\right)\Leftrightarrow x\notin \overline{A}\Leftrightarrow (\exists U\in\mathcal{U}(x))(U\cap A=\emptyset)\Leftrightarrow (\exists U\in\mathcal{U}(x))(U\subseteq\setminus A)\Leftrightarrow x\in (\setminus A)^{\circ}.$
$\mathbf{b)}$ $(a)$ şıkkında $A$ kümesi yerine $\setminus A$ yazılıp her iki tarafın da tümleyeni alınırsa istenen sonuç elde edilir.
$-----------------------------------$
Teorem 3. $(X,\tau)$ topolojik uzay ve $A\subseteq X$ olmak üzere
$$\overline{\overline{\overline{\overline{A}^c}^c}^c}=\overline{\overline{A}^c}.$$
Kanıt: Yukarıdaki teoremler ışığı altında artık zor olmasa gerek.
Bu son teorem bize sadece kapanış ve tümleme kullanarak $14$ kümeden daha fazla farklı küme elde edemeyeceğimizi garanti ediyor.