2 nin kuvvetleri ile ilgili bir soru.

Question

a,b,c pozitif tam sayılar olmak üzere a.b-c, b.c-a, a.c-b sayılarının her birinin 2 nin bir tam kuvveti olmasını sağlayan (a,b,c) üçlülerini bulunuz.

(n negatif olmamak üzere $2^{n}$ şeklinde yazılabilen sayılara ikinin kuvveti deniyor.)

Comments

Soruyla ilgili olarak a=b=c yi denedim ama tek çözümü a=b=c=2 çıktı, modüler aritmetik kullanmak için doğru yolu bulamadım. Soru hakkında herhangi bir yolu takip etmem gerektiğini düşünüyorsanız, yoruma yazarsanız sevinirim.

---

Sonuca gider mi, elbet cevabi olani soru oldugundan bir sekilde sonuca gider ama madem bir baslangic istiyorsun asagidaki fikir iyi geldi bana.

$a=2^ku$, $b=2^lv$ve $c=2^mz$ olsun, oyle ki $u,v,z$ tek sayilar. Simdi $k,l,m$ icerisinden en kucugu $k$ ise

$bc-a=2^k(2^{l+m-k}vz- u)$ olacagindan ve $l+m-k>0$ oldugunda icerisi tek olacagindan ya $l+m-k=0$ olmali, ki bu $k\leq l+m=k$ anlamina gelir ki, bu $k=l=m=0$ anlamina gelir ya da $2^{l+m-k}vz- u=1$ olmali.

---

Saolun hocam. Bu yolu deneyeceğim.

---

Ben kafam rahatlayinca donerim bu soruya. Sen de deneyip takildigin bir yer olursa yaz, onlara da bakariz. Kolay gelsin.

---

Saolun hocam, gerçekten sorularda bu sitenin ve sizin çok faydanız oluyor.

---

$a=2^{x}r$, $b=2^{y}m$, $c=2^{z}t$ olsun.

$x\geq y\geq z$ ise a.b-c = $2^{z}.\left( 2^{x+y-z}\cdot m.r-t\right)$ olur. x,y,z $\in$ N olduğundan,

m.r-t = $2^{q}$, q $\in$ N olur. Böylece döngüye girer.

---

$mr-t$ degil $2^{x+y-z}mr-t=2^q$ olmali. Yukaridaki gibi. Eger $x=y=z=0$ ise $mr-t=2^q$ olur. Eger degilse $2^{x+y-z}mr-t=1$ olmali. 

Bunu $ac-b$ icin de uygulamak lazim. $2^y(2^{x+z-y}tr-m)$ gibi. 

---

Aynen orada bir hata yapmışım.