Normal Altgrup Olma Sorusu

Question

Suradaki soruyu, en azindan Galois genislemeleri durumunda, grup teori uzerinden de dusunebiliriz. Boyle bir sorunun sitede oldugunu dusunuyordum, aradim ama bulamadim. 

$G$ bir grup ve $K \lneq H \lneq G$ altgruplar olsun. Soruyu cok basitlestirmemek icin $K$'nin bir elemanli olmadigini dusunelim.

1. $K$, $H$ icerisinde normal ise; $K$, $G$ icerisinde de normal midir?
2. $H$, $G$ icerisinde normal ise; $K$, $G$ icerisinde normal midir?
3. $H$, $G$ icerisinde normal ise; $K$, $H$ icerisinde normal midir?
4. $K$, $H$ icerisinde normal ise ve $H$ de $G$ icerisinde normal ise; bu durumda $K$, $G$'de normal midir?

Son soru: Ilgili linkteki soru, Galois teori ile birlikte, yukaridaki dort sorudan hangisine karsilik geliyor?

Comments

1., 2. ve 4. sorular için cevabımız hayırdır.  $\{(1),(12)(34)\}\lhd\{(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}\lhd S_{4}$ ancak $\{(1),(12)(34)\} \ntriangleleft S_{4}$ karşı örnek verebiliriz.<br><br>3. soru için ifade doğru değildir. Karşı örnek için; $\{e,b\}\ntriangleleft \{e,b,a^2,a^2b\}\lhd D_{4}$ verilebilir.<br>

---

Sabah cevapti bu, yorum olmus. Ne guzel cevap oysa ki.

---

Sorunun alt kısmında bir soru daha varmış. Onu sonra gördüm, fikrim de olmayınca cevabımı yoruma dönüştürdüm. 

---

Ücüncü sorunun yaniti da bariz nedenlerle hayir oluyor: Karsi ornek, $G$ herhangi bir normal olmayan altgruba sahip bir grup olsun. $K$ de o normal olmayan altgrup olsun. $H=G$ alinir. Galois kismi da, ücüncü, yani bu kısımla ilgili.