Question

$u$ ve $\cos (u\pi)$ rasyonel sayi ise $\cos (u\pi) \in \{0, \pm \frac12,\pm 1\}$ oldugunu gosteriniz.

Comments

Tamamen benzeri olarak soruyu tekrar sormus bulundum: http://matkafasi.com/115227

Ikisinin de ayni soru oldugunu gormek zor degil.

Answer 1

(1) Elimizde $$e^{iu\pi}=\cos(u\pi)+i\sin(u\pi)$$ ve $$e^{-iu\pi}=\cos(-u\pi)+i\sin(-u\pi)$$ $$\ \ \ =\cos(u\pi)-i\sin(u\pi)$$ esitlikleri var. Bu ikisini toplarsak $$2\cos(u\pi)=e^{iu\pi}+e^{-iu\pi}$$ oldugunu elde ederiz. 

(2) $p$ ve $q\ne 0$ aralarinda asal tam sayilar olmak uzere $u=p/q$ olsun. Bu durumda $$(e^{iu\pi})^{2q}=1 \ \ \ \text{ ve } \ \ \ (e^{-iu\pi})^{2q}=1$$ saglanir. Yani $e^{iu\pi}$ ve $e^{-iu\pi}$ degerleri $$x^{2q}-1 \in \mathbb Z[x]$$ polinomunun kokleri olur.

(3) Eger $a$ ve $b$ degerleri $\mathbb Z[x]$ icerisindeki herhangi bas katsayisi $1$ olan polinomun koku ise $$a+b$$ degeri de $\mathbb Z[x]$ icerisindeki bas katsayisi $1$ olan bir polinomun koku olur. (2) dolayisiyla $$2\cos(u\pi)$$ de $\mathbb Z[x]$ icerisinde bas katsayisi $1$ olan bir polinomum koku olur.

(4) $2\cos(u\pi)$ bir rasyonel sayi oldugundan ve $\mathbb Z[x]$ icerisindeki bas katsayisi $1$ olan bir polinomun koku oldugundan bir tam sayi olmalidir. Ayrica $\cos$ fonksiyonu $[-1,1]$ araliginda degerler aldigindan $2\cos(u\pi)$ ifadesinin alabilecegi degerler $$\{-2,-1,0,1,2\}$$ olabilir; yani $cos(u\pi)$ ifadesinin alabilecegi degerler  $$\left \{-1,-\frac12,0,\frac12,1\right\}$$ olabilir.